Twierdzenie Sophie Germain

Twierdzenie Sophie Germain – jedno z najsławniejszych i najważniejszych twierdzeń matematycznych w teorii liczb oraz w historii matematyki^[1] udowadniające Wielkie Twierdzenie Fermata w szczególnym przypadku kiedy żadna z liczb ${\displaystyle x,y,z}$ w niemożliwej nigdy dla liczb naturalnych dla ${\displaystyle n>2}$ wg Fermata równości ${\displaystyle x^{n}+y^{n}=z^{n}}$ nie jest podzielna przez wykładnik ${\displaystyle n}$ (tzn. jedynie co ${\displaystyle n}$-ta liczba może naruszać twierdzenie) który bez ograniczania ogólności musi jedynie być liczbą pierwszą sformułowane i udowodnione przez Sophie Germain mówiące że jeśli w tym przypadku istnieje także inna liczba pierwsza ${\displaystyle q}$ taka że ${\displaystyle q=2nk+1}$ (przynajmniej jedna taka liczba tzn. takie ${\displaystyle k}$ że ${\displaystyle q}$ jest pierwsza sama w sobie istnieje zawsze ponieważ każdy pierwszy podzielnik liczby Mersenne’a który istnieje zawsze włącznie z ją samą jeśli jest pierwsza o zawsze pierwszym wykładniku ${\displaystyle n}$ ma taką postać) oraz jeśli żadna z ${\displaystyle n}$-tych potęg ${\displaystyle x}$ modulo ${\displaystyle q}$ nie różni się od drugiej o ${\displaystyle 1}$ (jest ich znacząco różnych tylko ${\displaystyle q-1}$ i po prostu liczy się je potęgując modularnie ${\displaystyle x}$) oraz żadna nie jest równa ${\displaystyle n}$ wtedy twierdzenie Fermata jest prawdziwe. W szczególnym przypadku ${\displaystyle k=1}$ nie trzeba sprawdzać nic oprócz tego czy ${\displaystyle q=2n+1}$ jest także pierwsza i twierdzenie dla takich ${\displaystyle x,y,z}$ jest także prawdziwe.

Na przykład dla ${\displaystyle n=5}$ liczba ${\displaystyle q=2\times 5+1=11}$ jest pierwsza a więc twierdzenie Fermata wg Germain jest prawdziwe jeśli tylko ani ${\displaystyle x}$ ani ${\displaystyle y}$ ani ${\displaystyle z}$ nie jest podzielna przez ${\displaystyle 5}$.

Dla ${\displaystyle n=7}$ jednak liczba ${\displaystyle q=2\times 7+1=15=3\times 5}$ nie jest pierwsza i trzeba szukać dalej. Liczba ${\displaystyle q=2\times 2\times 7+1=29}$ jest już pierwsza. Wtedy więc dla ${\displaystyle k=2}$ trzeba jednak też sprawdzić czy w skończonym ciągu reszt z dzieleń potęg kolejnych liczb naturalnych od ${\displaystyle 1}$ do ${\displaystyle 28}$ przez ${\displaystyle 29}$, ${\displaystyle 1^{7}{\bmod {2}}9,2^{7}{\bmod {2}}9,3^{7}{\bmod {2}}9,...,28^{7}{\bmod {2}}9}$ nie ma żadnych liczb różniących się o ${\displaystyle 1}$ i też czy nie pojawia się tam sam wykładnik ${\displaystyle 7}$. Otrzymujemy w ten sposób ciąg ${\displaystyle 1,12,12,28,28,28,1,17,28,17,12,17,28,12,17,1,12,17,12,1,12,28,1,1,1,17,17,28}$ a więc składający się tylko z różnych liczb ${\displaystyle 1,12,17,28}$. Nie ma w nich ani różniących się o ${\displaystyle 1}$ ani liczby ${\displaystyle 7}$. Twierdzenie Fermata wg Germain jest więc prawdziwe dla ${\displaystyle n=7}$ i wszystkich ${\displaystyle x,y,z}$ nie podzielnych przez ${\displaystyle 7}$.

Podczas kiedy liczba posiłkowa ${\displaystyle q}$ nie ma naprawdę nic wspólnego z podzielnością przez ${\displaystyle n}$ i jak udowodniła Sophie Germain musi także dzielić liczby ${\displaystyle x,y}$ i ${\displaystyle z}$ dla których zachodziło by naruszenie twierdzenia Fermata oraz jest bardzo prawdopodobne ze jest prawdziwa hipoteza że istnieje nieskończenie wiele a więc i dowolnie dużych liczb posiłkowych ${\displaystyle q=2nk+1}$ dla danego ${\displaystyle n}$ na podobieństwo liczb pierwszych Mersenne’a Germain najprawdopodobniej udowodniła poprzez swoje rozważania w ten sposób także nie wprost twierdzenie w ogólnym przypadku tzn. dla liczb również podzielnych przez ${\displaystyle n}$ i dla wszystkich wykładników ${\displaystyle n}$ poprzez tzw. metodę nieskończonego wejścia (analogiczną do metody nieskończonego zejścia kiedy to np. udowadnia się twierdzenie dla wszystkich liczb i ${\displaystyle n=3}$ tzn. jeśli z istnienia rozwiązań równości Fermata wynika istnienie mniejszych to nie mogą one istnieć ponieważ zderzyły by się o 0) ponieważ wtedy przynajmniej jedna z liczb musi być nieskończenie duża jeśli podzielna jest przez nieskończoną ilość dowolnie dużych dzielników więc z równości także dwie pozostałe a więc nie mogą one istnieć.

Twierdzenie jest też silną przesłanką ze Fermat sam naprawdę udowodnił swoje twierdzenie metodami elementarnymi jak to znaleziono bez szczegółów w jego notatkach.