Twierdzenie de Rhama

Dla kompleksu łańcuchowego ${\displaystyle X}$ z operatorem brzegu ${\displaystyle \partial }$, n-tą grupą homologii nazywamy grupę ilorazową

${\displaystyle H_{n}(X)=Z_{n}(X)/B_{n}(X)\,,}$

gdzie

${\displaystyle {\displaystyle Z_{n}(X)=\ker \partial _{n}\quad B_{n}(X)=\mathrm {im} \partial _{n+1}\,.}}$

Dla kompleksu de Rhama ${\displaystyle X}$ z operatorem różniczki ${\displaystyle d}$, n-tą grupą kohomologii^[1] nazywamy grupę ilorazową

${\displaystyle H^{n}(X)=Z^{n}(X)/B^{n}(X)\,,}$

gdzie

${\displaystyle {\displaystyle Z^{n}(X)=\ker d_{n+1}\quad B^{n}(X)=\mathrm {im} d_{n}\,.}}$

Przy zdefiniowaniu izomorfizmu postaci^[2]

${\displaystyle \sigma \mapsto \omega {\Bigg |}\int _{\sigma }\omega =0\,,}$

gdzie ${\displaystyle \sigma }$ jest łańcuchem, a ${\displaystyle \omega }$ jest odpowiadającą mu formą różniczkową, prawdziwe jest zdanie^[3]

${\displaystyle H_{n}(X)\cong H^{n}(X)\,.}$