Twierdzenie o filtrze pierwszym

Niech ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ będzie kratą rozdzielną. Wówczas krata dualna ${\displaystyle {\mathcal {K}}^{\mathbf {d} }}$ do ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ także jest rozdzielna.

Jeśli teraz ${\displaystyle a\not \leqslant b}$ w ${\displaystyle {\mathcal {K}},}$ to ${\displaystyle b\not \leqslant ^{\mathbf {d} }a}$ w ${\displaystyle {\mathcal {K}}^{\mathbf {d} }.}$ Na mocy twierdzenia o ideale pierwszym, istnieje w ${\displaystyle {\mathcal {K}}^{\mathbf {d} }}$ ideał pierwszy ${\displaystyle F,}$ dla którego ${\displaystyle a\in F\,,\;b\not \in F.}$ Wówczas jak się okazuje ${\displaystyle F}$ jest filtrem pierwszym w wyjściowej kracie ${\displaystyle {\mathcal {K}}.}$

Tym samym wykazaliśmy:

Niech ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ będzie kratą rozdzielną i niech ${\displaystyle a\not \leqslant b.}$ Wówczas istnieje w ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ filtr pierwszy ${\displaystyle F,}$ dla którego ${\displaystyle a\in F\,,\;b\not \in F.}$