Twierdzenie o rzucie ortogonalnym

Twierdzenie o rzucie ortogonalnym – twierdzenie analizy funkcjonalnej mówiące, że dla dowolnej domkniętej podprzestrzeni liniowej przestrzeni Hilberta istnieje ortogonalna podprzestrzeń komplementarna do wybranej. Ma ono szereg zastosowań nie tylko w analizie funkcjonalnej (np. dowód twierdzenia Riesza), ale również m.in. w teorii równań różniczkowych cząstkowych.

Niech ${\displaystyle H}$ będzie przestrzenią Hilberta, zaś ${\displaystyle C\subseteq H}$ będzie jej domkniętą podprzestrzenią liniową; wówczas

${\displaystyle H=C\oplus C^{\perp },}$

gdzie ${\displaystyle \oplus }$ oznacza (wewnętrzną) sumę prostą, a ${\displaystyle C^{\perp }}$ to dopełnienie ortogonalne podprzestrzeni ${\displaystyle C.}$

Ponieważ ${\displaystyle C}$ jest niepusta i wypukła jako podprzestrzeń liniowa ${\displaystyle H}$ oraz zupełna jako domknięta podprzestrzeń przestrzeni zupełnej^[a], to spełnione są założenia twierdzenia o zbiorze wypukłym, które dla dowolnego elementu ${\displaystyle h\in H}$ gwarantuje istnienie jedynego elementu ${\displaystyle a\in C,}$ który leży najbliżej ${\displaystyle h.}$ Wówczas:

${\displaystyle h=c+(h-c).}$

Z kolei poniższy lemat zapewnia, że element ${\displaystyle (h-c)\perp C,}$ tj. ${\displaystyle h-c\in C^{\perp },}$ a co za tym idzie ${\displaystyle H=C+C^{\perp }}$ (przestrzeń ${\displaystyle H}$ jest generowana przez ${\displaystyle C,C^{\perp }}$); ponadto jeżeli ${\displaystyle x\in C\cap C^{\perp },}$ to ${\displaystyle x\perp x,}$ co zachodzi tylko dla ${\displaystyle x=0}$^[b], a zatem ${\displaystyle C\cap C^{\perp }=\{0\};}$ stąd też ${\displaystyle H=C\oplus C^{\perp }}$ jest ortogonalną sumą prostą podprzestrzeni ${\displaystyle C}$ i jej dopełnienia ortogonalnego ${\displaystyle C^{\perp }.}$

Element ${\displaystyle c}$ nazywany też bywa elementem najlepiej aproksymującym ${\displaystyle h}$ ew. rzutem ${\displaystyle h}$ na ${\displaystyle C}$ i oznaczany bywa ${\displaystyle P_{C}(h)}$ ew. ${\displaystyle \Pi _{C}(h).}$

Lemat

Niech ${\displaystyle X}$ będzie przestrzenią unitarną z normą ${\displaystyle \|\cdot \|}$ indukowaną z iloczynu skalarnego ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle ,}$ zaś ${\displaystyle Y}$ będzie zupełną podprzestrzenią liniową w ${\displaystyle X.}$ Wówczas ${\displaystyle a}$ jest rzutem ${\displaystyle x}$ na ${\displaystyle Y}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle a\in Y}$ oraz ${\displaystyle (x-a)\perp Y}$^[c].

• Krzysztof Maurin: Analiza I – Elementy. Warszawa: PWN, 1976, s. 367–368.