Twierdzenie o wiriale

Twierdzenie (Clausiusa) o wiriale opisuje zależność między średnią energią potencjalną a średnią energią kinetyczną cząstki lub układu. Zgodnie z nim dla pojedynczej cząstki poruszającej się ruchem ograniczonym w polu o potencjale ${\displaystyle V=ar^{n},}$ średnie energie spełniają zależność

${\displaystyle 2\langle {E_{\mathrm {k} }}\rangle =n\langle {E_{\mathrm {p} }}\rangle .}$

Na przykład dla oscylatora harmonicznego ${\displaystyle V=kr^{2},}$ a zatem zgodnie z twierdzeniem o wiriale ${\displaystyle \langle E_{\mathrm {k} }\rangle =\langle E_{\mathrm {p} }\rangle .}$ Dla planety w polu grawitacyjnym ${\displaystyle V=-k/r,}$ wobec tego

${\displaystyle 2\langle E_{\mathrm {k} }\rangle =-\langle E_{\mathrm {p} }\rangle .}$

Twierdzenie o wiriale stosowane jest przede wszystkim w fizyce statystycznej, pozwala bowiem często obliczyć średnią energię kinetyczną (a więc temperaturę) układu bez analizowania ruchu pojedynczych cząstek. W astrofizyce natomiast używa się go na przykład do wyznaczania mas gromad galaktyk – gdy znamy (z obserwacji) prędkości galaktyk w gromadzie, to możemy wyciągać wnioski na temat potencjału grawitacyjnego, w którym się poruszają. Wyniki takich oszacowań są jedną z przesłanek wskazujących na istnienie ciemnej materii.

Twierdzenie o wiriale występuje również w mechanice kwantowej. Można je wyprowadzić, korzystając z własności komutatorów oraz twierdzenia Ehrenfesta:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\langle A\rangle ={\frac {1}{\mathrm {i} \hbar }}\langle [A,H]\rangle .}$

Podstawimy

${\displaystyle A=xp,}$

gdzie:

${\displaystyle p}$ – operator pędu,

${\displaystyle x}$ – operator położenia,

oraz

${\displaystyle H=T+V(x),}$

gdzie:

${\displaystyle T}$ – operator energii kinetycznej,

${\displaystyle V}$ – energia potencjalna.

Obliczmy ${\displaystyle [xp,T]{:}}$

${\displaystyle [xp,T]=[x,T]p+x[p,T]=[x,T]p={\frac {1}{2m}}[x,p^{2}]p={\frac {1}{2m}}{\big (}[x,p]p+p[x,p]{\big )}p={\frac {2\mathrm {i} \hbar }{2m}}p^{2}=2\mathrm {i} \hbar T.}$

Obliczmy ${\displaystyle [xp,V(x)]{:}}$

${\displaystyle {\big [}xp,V(x){\big ]}={\big [}x,V(x){\big ]}p+x{\big [}p,V(x){\big ]}=x{\big [}p,V(x){\big ]}=-\mathrm {i} \hbar x\left[{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}},V(x)\right]=-\mathrm {i} \hbar x\left({\frac {\mathrm {d} V(x)}{\mathrm {d} x}}+V(x){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}-V(x){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\right)=-\mathrm {i} \hbar x{\frac {\mathrm {d} V(x)}{\mathrm {d} x}}.}$

Ostatecznie mamy:

${\displaystyle [xp,H]=[xp,T]+{\big [}xp,V(x){\big ]}=\mathrm {i} \hbar \left(2T-x{\frac {\mathrm {d} V(x)}{\mathrm {d} x}}\right).}$

Podstawiając do twierdzenia Ehrenfesta, dostajemy

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\langle xp\rangle =2\langle T\rangle -\left\langle x{\frac {\mathrm {d} V(x)}{\mathrm {d} x}}\right\rangle .}$

Średnie ${\displaystyle \langle \dots \rangle }$ w powyższym równaniu należy obliczać dla stanu własnego ${\displaystyle \psi }$ hamiltonianu. Lewa strona równości jest wtedy równa 0:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\langle xp\rangle ={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\langle \psi |xp|\psi \rangle =\langle {\dot {\psi }}|xp|\psi \rangle +\langle \psi |xp|{\dot {\psi }}\rangle ={\frac {-1}{\mathrm {i} \hbar }}\langle \psi |Exp|\psi \rangle +{\frac {1}{\mathrm {i} \hbar }}\langle \psi |xpE|\psi \rangle =0,}$

gdzie:

${\displaystyle E}$ – energia całkowita w tym stanie.

Wówczas równanie przyjmuje postać:

${\displaystyle 2\langle T\rangle =\left\langle x{\frac {\mathrm {d} V(x)}{\mathrm {d} x}}\right\rangle .}$

Przyjmując ${\displaystyle V(x)=ax^{n},}$ dostajemy twierdzenie o wiriale.

• mechanizm Kelvina-Helmholtza