Układ odniesienia (algebra)

Załóżmy, że V jest polem wektorowym nad ciałem F i chcemy przedstawić ${\displaystyle \mathbf {v} \in V}$ jako liniową kombinację wektorów ze zbioru ${\displaystyle \{\mathbf {e} _{k}\}\subset V}$, taką że

${\displaystyle \mathbf {v} =\sum _{k}c_{k}\mathbf {e} _{k}.}$

Jeśli zestaw ${\displaystyle \{\mathbf {e} _{k}\}}$ nie rozpina ${\displaystyle V}$, to takie współczynniki nie istnieją dla każdego ${\displaystyle \mathbf {v} }$ w V. Jeśli ${\displaystyle \{\mathbf {e} _{k}\}}$ rozpina ${\displaystyle V}$ i jest również liniowo niezależny, to taki zbiór tworzy bazę ${\displaystyle V}$ i współczynniki ${\displaystyle c_{k}}$ są jednoznacznie określone przez ${\displaystyle \mathbf {v} }$. Jeśli jednak ${\displaystyle \{\mathbf {e} _{k}\}}$ jest rozpiętością ${\displaystyle V}$, ale nie jest liniowo niezależny, to sposób określania współczynników staje się mniej oczywisty, zwłaszcza gdy ${\displaystyle V}$ ma nieskończony wymiar.

Jeśli uwzględnimy to, iż ${\displaystyle \{\mathbf {e} _{k}\}}$ rozpina ${\displaystyle V}$, a jego elementy są liniowo zależne, to usuwając wektor za wektorem z tego zbioru, aż pozostałe elementy staną się liniowo niezależne, utworzymy bazę. Istnieją pewne problemy z tym schematem:

1. Usuwanie dowolnych wektorów z zestawu może spowodować, że pozostałe elementy nie będą rozpinały V gdy osiągniemy zbiór elementów liniowo niezależnych.
2. Nawet jeśli uda się opracować konkretny sposób usuwania wektorów ze zbioru, aż stanie się on bazą, podejście to może okazać się w praktyce niewykonalne, jeśli zbiór jest duży lub nieskończony.
3. W niektórych zastosowaniach korzystne może być użycie większej liczby wektorów niż jest to konieczne do przedstawienia v. Oznacza to, że chcemy znaleźć współczynniki ${\displaystyle c_{k}}$ bez usuwania elementów z ${\displaystyle \{\mathbf {e} _{k}\}}$. Współczynniki ${\displaystyle c_{k}}$ nie będzie zatem jednoznacznie określany przez v. Dlatego wektor v można przedstawić jako kombinację liniową elementów ${\displaystyle \{\mathbf {e} _{k}\}}$ na więcej niż jeden sposób.

Niech ${\displaystyle V}$ będzie przestrzenią unitarną i ${\displaystyle \{\mathbf {e} _{k}\}_{k\in \mathbb {N} }}$ będzie zbiorem wektorów w ${\displaystyle V}$. Zestaw ${\displaystyle \{\mathbf {e} _{k}\}_{k\in \mathbb {N} }}$ jest układem odniesienia ${\displaystyle V}$, jeśli istnieją dwie stałe ${\displaystyle 0<A\leq B<\infty }$^[5] takie, że

${\displaystyle A\left\|\mathbf {v} \right\|^{2}\leq \sum _{k\in \mathbb {N} }\left|\langle \mathbf {v} ,\mathbf {e} _{k}\rangle \right|^{2}\leq B\left\|\mathbf {v} \right\|^{2},\quad \forall \mathbf {v} \in V.}$^[1]

Ramkę nazywamy nadkompletną (lub nadmiarową ), jeżeli nie jest bazą Riesza dla przestrzeni V. Nadmiarowość ramki mierzona jest dolną i górną granicą ramki (lub współczynnikami nadmiarowości ) ${\displaystyle A}$ i ${\displaystyle B}$, odpowiednio.^[5][1] To znaczy, że rama ${\displaystyle \{\mathbf {e} _{k}\}_{k\in \mathbb {N} }}$ o ${\displaystyle K}$ elementach w ${\displaystyle N}$ wymiarowej przestrzeni ${\displaystyle V}$, gdzie ${\displaystyle K\geq N}$, której elementy są znormalizowanymi wektorami ${\displaystyle \|\mathbf {e} _{k}\|=1}$ w ${\displaystyle N}$ -przestrzeń wymiarowa ${\displaystyle V}$ spełnia ograniczenia ramki, jeśli

${\displaystyle 0<A\leq {\frac {1}{N}}\sum _{k=1}^{K}\langle |\mathbf {e} _{k},\mathbf {e} _{k}\rangle |^{2}={\frac {K}{N}}\leq B<\infty .}$

Jeżeli układ jest bazą Riesza ( zatem jest liniowo niezależny), to ${\displaystyle A\leq 1\leq B}$ . Granice ramki nie są unikalne, ponieważ liczby mniejsze niż ${\displaystyle A}$ i większy niż ${\displaystyle B}$ są również prawidłowymi ograniczeniami ramki. Optymalną dolną granicą jest supremum wszystkich dolnych granic, a optymalną górną granicą jest infimum wszystkich górnych granic.