Układ singularny

Układ uogólniony o równaniach stanu w postaci:

${\displaystyle \mathbf {E} {\dot {\mathbf {x} }}(t)=\mathbf {Ax} (t)+\mathbf {Bu} (t),}$

${\displaystyle \mathbf {y} (t)=\mathbf {Cx} (t)+\mathbf {Du} (t),}$

gdzie:

• zmienne: wejściowe ${\displaystyle \mathbf {u} (t)\in \mathbb {R} ^{m},}$ wyjściowe ${\displaystyle \mathbf {y} (t)\in \mathbb {R} ^{p}}$ i zmienne stanu ${\displaystyle \mathbf {x} (t)\in \mathbb {R} ^{n}}$ oraz
• macierz stanu ${\displaystyle \mathbf {A} \in \mathbb {R} ^{qn},}$ macierz wyjść ${\displaystyle \mathbf {C} \in \mathbb {R} ^{pn},}$ macierz wejść ${\displaystyle \mathbf {B} \in \mathbb {R} ^{qm},}$ macierz przenoszenia ${\displaystyle \mathbf {D} \in \mathbb {R} ^{pm}}$ oraz ${\displaystyle \mathbf {E} \in \mathbb {R} ^{qn},}$

nazywany jest układem singularnym, jeśli rząd ${\displaystyle \mathbf {E} =r<n.}$ W przypadku szczególnym, gdy ${\displaystyle q=n,}$ wyżej podany układ jest singularny, jeżeli ${\displaystyle det\mathbf {E} =0}$ (tzn. ${\displaystyle \mathbf {E} }$ jest macierzą osobliwą).

Istnieją takie macierze nieosobliwe ${\displaystyle \mathbf {P} ,\mathbf {Q} \in \mathbb {R} ^{nn},}$ że układ singularny opisany równaniami podanymi na wstępie (przy założeniu, że pęk macierzy ${\displaystyle (\mathbf {E} ,\mathbf {A} )}$ jest regularny), można rozłożyć na:

• układ wolny (standardowy)

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x_{1}} }}(t)=\mathbf {A_{1}x_{1}} (t)+\mathbf {B_{1}u} (t),}$

${\displaystyle \mathbf {y_{1}} (t)=\mathbf {C_{1}x_{1}} (t)+\mathbf {D_{1}u} (t)}$

• i układ szybki (ściśle singularny)

${\displaystyle \mathbf {N} {\dot {\mathbf {x_{2}} }}(t)=\mathbf {x_{2}} (t)+\mathbf {B_{2}u} (t),}$

${\displaystyle \mathbf {y_{2}} (t)=\mathbf {C_{2}x_{2}} (t)+\mathbf {D_{2}u} (t),}$

gdzie ${\displaystyle \mathbf {N} \in \mathbb {R} ^{n_{2}n_{2}}.}$

Niech dany będzie układ z proporcjonalno-różniczkowym sprzężeniem zwrotnym opisany równaniami:

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=\mathbf {Ax} (t)+\mathbf {Bu} (t),}$

${\displaystyle \mathbf {y} (t)=\mathbf {Cx} (t),}$

${\displaystyle \mathbf {u} (t)=\mathbf {v} (t)-\mathbf {F_{1}} \mathbf {y} (t)-\mathbf {F_{2}} {\dot {\mathbf {y} }}(t),}$

gdzie:

• zmienne: wejściowe ${\displaystyle \mathbf {u} (t)\in \mathbb {R} ^{m},}$ wyjściowe ${\displaystyle \mathbf {y} (t)\in \mathbb {R} ^{p}}$ i zmienne stanu ${\displaystyle \mathbf {x} (t)\in \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle \mathbf {v} (t)\in \mathbb {R} ^{m}}$ nowym wektorem wymuszenia oraz
• macierz stanu ${\displaystyle \mathbf {A} \in \mathbb {R} ^{qn},}$ macierz wyjść ${\displaystyle \mathbf {C} \in \mathbb {R} ^{pn},}$ macierz wejść ${\displaystyle \mathbf {B} \in \mathbb {R} ^{qm},}$ ${\displaystyle \mathbf {F_{1}} ,\mathbf {F_{2}} \in \mathbb {R} ^{qp}.}$

Podstawiając drugie z powyższych równań do trzeciego, a otrzymane w ten sposób wyrażenie do pierwszego, otrzymujemy:

${\displaystyle \mathbf {[I+BF_{2}C]} {\dot {\mathbf {x} }}(t)=\mathbf {[A-BF_{1}C]x} (t)+\mathbf {Bv} (t).}$

Układ opisany powyższym równaniem (oraz równaniem ${\displaystyle \mathbf {y} (t)=\mathbf {Cx} (t)}$) jest układem singularnym, jeśli macierz ${\displaystyle \mathbf {E=[I+BF_{2}C]} }$ jest macierzą osobliwą.