Uniwersum Herbranda

Uniwersum Herbranda – dla formuły rachunku predykatów pierwszego rzędu to uniwersum składające się z wszystkich zamkniętych termów złożonych ze stałych i symboli funkcyjnych występujących w formule. Jeśli formuła nie zawiera żadnych stałych, dodaje się do uniwersum dowolną stałą, żeby nie było ono puste.

Jeśli formuła zawiera choć jeden symbol funkcyjny o argumentowości większej niż 0, uniwersum Herbranda jest zbiorem nieskończonym. Uniwersum Herbranda jest zawsze co najwyżej przeliczalne.

• ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle y}$ – pewne zmienne
• ${\displaystyle c,}$ ${\displaystyle d}$ – pewne stałe
• ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle g}$ – pewne funkcje jednoargumentowe

${\displaystyle R(x,c)\lor R(d,y)}$

Uniwersum Herbranda to ${\displaystyle \{c,d\}.}$

${\displaystyle R(x,c)\land \neg R(d,f(y))}$

Uniwersum Herbranda to ${\displaystyle \{c,f(c),f(f(c)),f(f(f(c))),\dots \}.}$

${\displaystyle R(x,c)\land R(d,f(y))\land R(f(c),g(x))}$

Uniwersum Herbranda to ${\displaystyle \{c,d,f(c),f(d),g(c),g(d),f(f(c)),f(g(c)),g(f(c)),f(f(d)),\dots \}}$

${\displaystyle x>0\implies s(x)>s(0)}$

Uniwersum Herbranda to ${\displaystyle \{0,s(0),0>0,s(s(0)),s(0)>0,0>s(0),s(0)>s(0),s(s(0))>s(0),\dots \}}$

Przykłady dla formuł bez stałych:

${\displaystyle R(x)\lor R(y)}$

Uniwersum Herbranda to ${\displaystyle \{c\}.}$ (${\displaystyle c}$ – dodana stała)

${\displaystyle x>y\implies s(x)>s(y)}$

${\displaystyle x>y\implies x+z>y+z}$

Uniwersum Herbranda to ${\displaystyle \{c,s(c),c+c,s(s(c)),s(c)+c,c+s(c),s(c)+s(c),s(s(c))+s(c),\dots \}.}$ (${\displaystyle c}$ – dodana stała)