Uzwarcenie Wallmana

W matematyce, dokładniej w topologii, uzwarcenie (lub rozszerzenie) Wallmana to uzwarcenie, które można traktować jako namiastkę uzwarcenia Čecha-Stone’a dla przestrzeni ${\displaystyle T_{1}}$^[1].

Niech ${\displaystyle X}$ będzie ${\displaystyle T_{1}}$-przestrzenią, ${\displaystyle {\mathfrak {D}}(X)}$ rodziną jej wszystkich podzbiorów domkniętych, a ${\displaystyle F(X)}$ rodziną wszystkich ultrafiltrów w ${\displaystyle {\mathfrak {D}}(X).}$ Dla każdego ultrafiltru ${\displaystyle {\mathfrak {F}}\in F(X)}$ przekrój ${\displaystyle \bigcap _{V\in {\mathfrak {F}}}V}$ jest albo zbiorem jednopunktowym (tzn. jest to ultrafiltr postaci ${\displaystyle {\mathfrak {F}}_{x}=\{V\in {\mathfrak {D}}(X):x\in V\}}$) albo zbiorem pustym^[1]. Pozwala to utożsamiać ${\displaystyle {\mathfrak {F}}_{x}}$ z punktem ${\displaystyle x.}$

Przyjmijmy ${\displaystyle \omega X=X\cup F_{0}(X),}$ gdzie ${\displaystyle F_{0}(X)}$ jest podzbiorem ultrafiltrów z ${\displaystyle F(X)}$ o pustym przekroju. Jeżeli ${\displaystyle U\subseteq X}$ jest zbiorem otwartym, to niech ${\displaystyle U^{*}=U\cup \{{\mathfrak {F}}\in F_{0}(X):{\textrm {istnieje}}\ A\in {\mathfrak {F}},{\text{że }}A\subseteq U\}.}$ Rodzina wszystkich zbiorów postaci ${\displaystyle U^{*},}$ gdzie ${\displaystyle U\subseteq X}$ jest otwarty, stanowi bazę pewnej topologii na ${\displaystyle \omega X.}$ Zbiór ${\displaystyle \omega X}$ wyposażony w tę topologię nazywamy uzwarceniem (lub rozszerzeniem) Wallmana^[1].

• Przestrzeń ${\displaystyle \omega X}$ jest zwartą. ${\displaystyle T_{1}}$-przestrzenią.
• Przestrzeń ${\displaystyle X}$ jest podprzestrzenią gęstą ${\displaystyle \omega X.}$
• Każde odwzorowanie ciągłe ${\displaystyle f:X\to Z,}$ gdzie ${\displaystyle Z}$ jest przestrzenią zwartą Hausdorffa można przedłużyć do odwzorowania ${\displaystyle \omega X\to Z.}$
• Przestrzeń ${\displaystyle \omega X}$ jest przestrzenią Hausdorffa wtedy i tylko wtedy, gdy przestrzeń ${\displaystyle X}$ jest normalna.
• Jeżeli ${\displaystyle X}$ jest normalna, to rozszerzenie Wallmana ${\displaystyle \omega X}$ jest uzwarceniem przestrzeni ${\displaystyle X}$ równoważnym uzwarceniu Čecha-Stone’a ${\displaystyle \beta X}$^[1].

• uzwarcenie Čecha-Stone’a