Warunkowa wartość oczekiwana

Warunkowa wartość oczekiwana – podstawowe pojęcie rachunku prawdopodobieństwa. Jest to odmiana tradycyjnego pojęcia wartości oczekiwanej, znanej czy to z rachunku prawdopodobieństwa, czy to ze statystyki. Różnica jest taka, że obliczamy ją pod warunkiem, że pewne zdarzenie już zaszło, a więc zamiast standardowego prawdopodobieństwa używamy prawdopodobieństwa warunkowego.

Niech ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ będzie przestrzenią probabilistyczną z zadanym na niej prawdopodobieństwem warunkowym ${\displaystyle P_{\boldsymbol {A}}.}$ Niech również ${\displaystyle X\in L^{1}(\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ będzie zmienną losową,

gdzie ${\displaystyle L^{1}(\Omega ,{\mathcal {F}},P):=\{X:\Omega \to \mathbb {R} :X}$ jest mierzalna ${\displaystyle \land \ \mathbb {E} |X|<+\infty \}.}$

${\displaystyle \mathbf {A} \in {\mathcal {F}}}$ jest zdarzeniem takim, że ${\displaystyle \mathbf {P} (A)>0.}$

• Warunkową wartością oczekiwaną zmiennej losowej X pod warunkiem zdarzenia A nazywamy liczbę:

${\displaystyle \mathbb {E} (X|A)=\int \limits _{\Omega }X(\omega )d\mathbb {P} _{A}}$

Jednak znacznie poręczniejszy w użyciu jest następujący, równoważny wzór:

${\displaystyle \mathbb {E} (X|A)={\frac {1}{P(A)}}\int \limits _{A}X(\omega )d\mathbb {P} }$

• Niech ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ będzie σ-ciałem. Warunkową wartością oczekiwaną zmiennej losowej X pod warunkiem σ-ciała ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ nazywamy zmienną losową spełniającą warunki:

1) ${\displaystyle \mathbb {E} (X|{\mathcal {G}})}$ jest ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$-mierzalna,

2) ${\displaystyle \int \limits _{A}E(X|{\mathcal {G}})d\mathbb {P} =\int \limits _{A}Xd\mathbb {P} ,}$ dla dowolnego ${\displaystyle A\in {\mathcal {G}}.}$

Dla dowolnego σ-ciała ${\displaystyle {\mathcal {G}}\subseteq {\mathcal {F}}}$ i zmiennej losowej całkowalnej ${\displaystyle X\in L^{1}(\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ istnieje ${\displaystyle \mathbb {E} (X|{\mathcal {G}})}$ i jest ona wyznaczona jednoznacznie z dokładnością do zdarzeń o prawdopodobieństwie zero.

• Szczególny przypadek poprzedniego.

Niech ${\displaystyle \Omega =\bigcup _{i\in I}A_{i},}$ gdzie ${\displaystyle A_{i}\cap A_{j}=\emptyset ,i\neq j,}$ i niech ${\displaystyle {\mathcal {G}}=\sigma (\{A_{i}:i\in I\}).}$ Wówczas warunkowa wartość oczekiwana pod warunkiem σ-ciała ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ jest równa:

${\displaystyle \mathbb {E} (X|{\mathcal {G}})=\sum _{i\in I}\mathbb {E} (X|A_{i})\cdot \mathbf {1} _{A_{i}}}$

Spełnia ona oba warunki warunkowej wartości oczekiwanej pod warunkiem σ-ciała.

Niech ${\displaystyle X,Y\in L^{1}(\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ i niech ${\displaystyle {\mathcal {G}}\subseteq {\mathcal {F}}}$ będzie σ-ciałem. Wówczas:

• Jeśli ${\displaystyle X}$ jest ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$-mierzalna, to ${\displaystyle \mathbb {E} (X|{\mathcal {G}})=X,}$

• ${\displaystyle X\leqslant Y\ \Rightarrow \ \mathbb {E} (X|{\mathcal {G}})\leqslant \mathbb {E} (Y|{\mathcal {G}}),}$

• ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} \ \Rightarrow \ \mathbb {E} (aX+bY|{\mathcal {G}})=a\mathbb {E} (X|{\mathcal {G}})+b\mathbb {E} (Y|{\mathcal {G}}),}$

• ${\displaystyle |\ \mathbb {E} (X|{\mathcal {G}})\ |\leqslant \mathbb {E} (\ |X|\ |{\mathcal {G}}),}$

• Dla dowolnego ${\displaystyle {\mathcal {H}}\subseteq {\mathcal {G}}}$ mamy:

${\displaystyle \mathbb {E} (X|{\mathcal {H}})=\mathbb {E} {\bigg (}\mathbb {E} (X|{\mathcal {H}})\ {\bigg |}\ {\mathcal {G}}{\bigg )}=\mathbb {E} {\bigg (}\mathbb {E} (X|{\mathcal {G}})\ {\bigg |}\ {\mathcal {H}}{\bigg )},}$

• ${\displaystyle X_{n}\to X\ \ \Longrightarrow \ \ \mathbb {E} (X_{n}|{\mathcal {G}})\to \mathbb {E} (X|{\mathcal {G}}),}$

• ${\displaystyle \mathbb {E} {\bigg (}\mathbb {E} (X|{\mathcal {G}}){\bigg )}=\mathbb {E} X,}$

• Jeśli ${\displaystyle X}$ jest niezależna od ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ (tzn. σ${\displaystyle (X)}$ i ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ są niezależne), to:

${\displaystyle \mathbb {E} (X|{\mathcal {G}})=\mathbb {E} X,}$

• Jeśli ${\displaystyle Y}$ jest ograniczoną zmienną ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$-mierzalną, to:

${\displaystyle \mathbb {E} (YX|{\mathcal {G}})=Y\mathbb {E} (X|{\mathcal {G}}).}$

• wartość oczekiwana
• prawdopodobieństwo
• prawdopodobieństwo warunkowe

• J. Jakubowski, R. Sztencel: Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Wyd. III. ISBN 83-89716-01-1. Brak numerów stron w książce