Wielomiany Tonellego

Wielomiany Tonellego – rodzina wielomianów efektywnie aproksymujących rzeczywiste funkcje ciągłe, określone na pewnym przedziale.

Niech ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} ,0<b-a<1,f\colon [a,b]\to \mathbb {R} }$ będzie funkcją ciągłą. Jeśli przedłużymy ją w sposób ciągły na przedział ${\displaystyle [\alpha ,\beta ]}$ taki, że ${\displaystyle [a,b]\subset [\alpha ,\beta ],\beta -\alpha <1,}$ to wielomian

${\displaystyle T_{n}(x)=\int \limits _{\alpha }^{\beta }f(u)t_{n}(u-x)\ du,}$

gdzie:

${\displaystyle t_{n}(z)={\frac {(1-z^{2})^{n}}{\int \limits _{-1}^{1}(1-u^{2})^{n}\ du}},\quad n\in \mathbb {N} }$

nazywamy ${\displaystyle n}$-tym wielomianem Tonellego dla funkcji ${\displaystyle f.}$

Analogicznie można zdefiniować wielomiany Tonellego dla funkcji ciągłych przestrzeni ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}.}$

• Ciąg ${\displaystyle T_{n}(x)}$ jest zbieżny jednostajnie do ${\displaystyle f}$ na przedziale ${\displaystyle [a,b].}$
• Jeśli ${\displaystyle f}$ jest klasy ${\displaystyle \mathrm {C} ^{r}}$ w przedziale ${\displaystyle [a,b]}$ oraz jej przedłużenie na przedział ${\displaystyle [\alpha ,\beta ]}$ (określony jw.) jest również klasy ${\displaystyle \mathrm {C} ^{r},}$ przy czym ${\displaystyle f^{(i)}(\alpha )=f^{(i)}(\beta )=0,\;i\leqslant r-1,}$ to

${\displaystyle T'_{n}(x)=-\int \limits _{\alpha }^{\beta }f(u)t'_{n}(u-x)dx=\int \limits _{\alpha }^{\beta }f'(u)t_{n}(u-x)du}$

jest ${\displaystyle n}$-tym wielomianem Tonellego dla ${\displaystyle f'.}$ Skąd ${\displaystyle T_{n}^{(i)}}$ jest ${\displaystyle n}$-tym wielomianem Tonellego dla ${\displaystyle f^{(i)}}$ oraz ${\displaystyle T_{n}^{(i)}}$ jednostajnie do ${\displaystyle f^{(i)},\;i\leqslant p}$

• interpolacja wielomianowa
• twierdzenie Stone’a-Weierstrassa
• wielomiany Bernsteina

• Stanisław Łojasiewicz: Wstęp do teorii funkcji rzeczywistych. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1973, s. 39–40.