Współczynnik korelacji tetrachorycznej

Współczynnik korelacji tetrachorycznej – jedna z miar zależności, współczynnik określający poziom zależności pomiędzy dwiema zmiennymi dychotomicznymi i porządkowymi. Zakładamy przy tym, że obydwie zmienne są faktycznie zmiennymi ciągłymi i o rozkładzie normalnym, natomiast zostały one sprowadzone do skali dychotomicznej w celu ich uproszczenia lub z innych powodów^[1].

Przykład zastosowania: korelacja pomiędzy wynikami uczniów pewnej klasy z egzaminu z matematyki i egzaminu z biologii, przy czym wyniki egzaminów zostały sprowadzone do postaci dychotomicznej (wartości: wynik powyżej mediany dla klasy lub wynik poniżej mediany dla klasy).

Oznaczmy w następujący sposób liczebności w tablicy kontyngencji o wymiarach 2×2 pokazującej rozkład dwóch zmiennych dychotomicznych:

	y = 1	y = 0	total
x = 1	${\displaystyle a}$	${\displaystyle b}$	${\displaystyle a+b}$
x = 0	${\displaystyle c}$	${\displaystyle d}$	${\displaystyle c+d}$
total	${\displaystyle a+c}$	${\displaystyle b+d}$	${\displaystyle n}$

Dokładne wyznaczenie wartości współczynnika korelacji tetrachorycznej na podstawie danych z próby wymaga dość złożonych numerycznie obliczeń^[2]. Należy znaleźć ${\displaystyle {\hat {\rho }}}$, wykorzytując następującą równość:

${\displaystyle {\frac {d}{n}}=\int _{\hat {h}}^{\infty }\int _{\hat {k}}^{\infty }{\frac {1}{2\pi \left(1-{\hat {\rho }}^{2}\right)^{1/2}}}{\text{exp}}\left[{\frac {-\left(x^{2}-2{\hat {\rho }}xy+y^{2}\right)}{2\left(1-{\hat {\rho }}^{2}\right)}}\right]dy{\text{ }}dx}$,

gdzie ${\displaystyle {\hat {h}}=\Phi ^{-1}\left({\frac {a+c}{n}}\right)}$ i ${\displaystyle {\hat {k}}=\Phi ^{-1}\left({\frac {a+b}{n}}\right)}$.

W 2005 Bonett i Price zaproponowali uproszczony wzór umożliwiający uzyskanie oszacowania o dobrych właściwościach^[1]:

${\displaystyle {\hat {\rho }}^{*}=\cos \left({\frac {\pi }{1+{\hat {\omega }}^{\hat {c}}}}\right)}$,

gdzie: ${\displaystyle \pi }$ to liczba pi, ${\displaystyle {\hat {c}}}$ wyznaczone jest za pomocą następującego wzoru:

${\displaystyle {\hat {c}}={\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {|b-c|}{5(n+2)}}-\left({\frac {1}{2}}-{\frac {min(a+b;a+c;b+d;c+d)+1}{n+2}}\right)^{2}\right)}$

zaś ${\displaystyle {\hat {\omega }}}$ to oszacowanie ilorazu szans z wykorzystaniem liczebności w komórkach tablicy kontyngencji powiększonych o 0,5:

${\displaystyle {\hat {\omega }}={\frac {(a+0{,}5)(d+0{,}5)}{(b+0{,}5)(c+0{,}5)}}}$.

• Why so many Correlation Coefficients
• Bruce M. King, Edward W. Minium, Statystyka dla psychologów i pedagogów, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2009, s. 193.