Współczynniki Clebscha-Gordana

Współczynniki Clebscha-Gordana – współczynniki liczbowe pojawiające się w rozkładzie stanów kwantowych, będących stanami własnymi operatorów momentu pędu, spinu bądź izospinu. Wartości współczynników Clebscha-Gordana są stabelaryzowane. Współczynniki te zostały wprowadzone przez niemieckich matematyków Alfreda Clebscha i Pawła Gordana, w związku z rozwojem teorii niezmienników.

Jeżeli dwa stany kwantowe ${\displaystyle |j_{1},m_{1}\rangle }$ oraz ${\displaystyle |j_{2},m_{2}\rangle }$ opisane liczbami kwantowymi momentu pędu orbitalnego/spinowego ${\displaystyle j_{1}}$ oraz ${\displaystyle j_{2}}$ oraz liczbami kwantowymi ${\displaystyle m_{1}}$ oraz ${\displaystyle m_{2},}$ opisującymi rzuty wektorów momentu pędu na wybraną oś ${\displaystyle z}$ sprzęgają się ze sobą, to powstający stan jest superpozycją stanów ${\displaystyle |j,m\rangle ,}$ tj.

${\displaystyle |j_{1},m_{1}\rangle |j_{2},m_{2}\rangle =\sum _{j}C_{m\,m_{1}\,m_{2}}^{\,j\,\,\,j_{1}\,\,\,j_{2}}\,|j,m\rangle }$

przy czym:

• ${\displaystyle m=m_{1}+m_{2}}$
• ${\displaystyle j\geqslant |m|,}$ ${\displaystyle j\in \{|j_{1}-j_{2}|,\,\,|j_{1}-j_{2}|\!+\!1,\,\dots ,\,j_{1}\!+\!j_{2}\},}$
• ${\displaystyle C_{m\,m_{1}\,m_{2}}^{\,j\,\,\,j_{1}\,\,\,j_{2}}}$ – współczynniki Clebscha-Gordana.

Słuszna jest też relacja odwrotna, pozwalająca znaleźć rozkład danego stanu sprzężonego ${\displaystyle |j,m\rangle }$ w bazie ${\displaystyle |j_{1},m_{1}\rangle |j_{2},m_{2}\rangle }$ stanów niesprzężonych

${\displaystyle |j,m\rangle =\sum _{j_{1},j_{2}}\sum _{m_{1},m_{2}}C_{m\,m_{1}\,m_{2}}^{\,j\,\,\,j_{1}\,\,\,j_{2}}\,|j_{1},m_{1}\rangle |j_{2},m_{2}\rangle }$

przy czym ${\displaystyle m_{1},m_{2}}$ oraz ${\displaystyle j_{1},j_{2}}$ takie że:

• ${\displaystyle m_{1}+m_{2}=m,}$
• ${\displaystyle |j_{1}-j_{2}|=j\;{}}$ lub ${\displaystyle {}\;|j_{1}-j_{2}|+1=j\;{}}$ lub ${\displaystyle {}\;\dots ,j_{1}+j_{2}=j.}$

Współczynniki Clebscha-Gordana znajdują ważne zastosowanie w znajdowaniu stanów po sprzężeniu stanów izospinowych oddziałujących cząstek lub w rozkładzie stanu sprzężonego w bazie dwóch stanów niesprzężonych – pozwala to np. obliczać amplitudy rozpraszania oddziałujących cząstek lub względne prawdopodobieństwa rozpadu danej cząstki na inne cząstki elementarne. Z uwagi na to, że operatory izospinu ${\displaystyle {\hat {I}}}$ i rzutu izospinu ${\displaystyle {\hat {I}}_{3}}$ na wybraną oś mają identyczne własności algebraiczne jak operatory orbitalnego i spinowego momentu pędu, współczynniki Clebscha-Gordana są takie same, jak w przypadku stanów momentu pędu.

Omówimy tu sposób wykorzystania tabel ze współczynnikami C-G na podstawie przypadku sprzęgania stanów o liczbach kwantowych ${\displaystyle j_{1}=1/2,j_{2}=1/2.}$

(1) W kolejnych wierszach tabel podane są możliwe wartości ${\displaystyle j,m,m_{1},m_{2}.}$

(2) Współczynniki C-G dla danych wartości ${\displaystyle j,m}$ i wartości ${\displaystyle m_{1},m_{2}}$ są na skrzyżowaniu kolumny z wartościami ${\displaystyle j,m}$ oraz wiersza w wartościami ${\displaystyle m_{1},m_{2}}$ – podano je wytłuszczonym drukiem.Przy czym z podanych wartości liczbowych należy wyciągnąć pierwiastek kwadratowy, zostawiając ewentualny znak – przed pierwiastkiem.

${\displaystyle j_{1}=1/2\,\,j_{2}=1/2}$

	j	1
	m	1
m1, m2	+1/2, +1/2	1

cd. ${\displaystyle j_{1}=1/2\,\,j_{2}=1/2}$

	j	1	0
	m	0	0
m1, m2	1/2, −1/2	1/2	1/2
m1, m2	−1/2, 1/2	1/2	−1/2

cd. ${\displaystyle j_{1}=1/2\,\,j_{2}=1/2}$

	j	1
	m	−1
m1, m2	−1/2, −1/2	1

Np. dla ${\displaystyle m_{1}=+1/2,m_{2}=-1/2}$ mamy

• dla ${\displaystyle j=1,m=0}$ współczynnik ${\displaystyle C=1/{\sqrt {2}}}$
• dla ${\displaystyle j=0,m=0}$ współczynnik ${\displaystyle C=1/{\sqrt {2}}}$

Na podstawie tabel odczytujemy: (a) stany ${\displaystyle |1/2,+1/2\rangle ,|1/2,+1/2\rangle }$ sprzęgają się w stan ${\displaystyle |1,+1\rangle ,}$ tj.

${\displaystyle |1/2,+1/2\rangle |1/2,+1/2\rangle =|1,+1\rangle }$

(b) stany ${\displaystyle |1/2,+1/2\rangle |1/2,-1/2\rangle }$ sprzęgają się w superpozycję stanów ${\displaystyle |1,0\rangle ,|0,0\rangle ,}$ tj.

${\displaystyle |1/2,+1/2\rangle |1/2,-1/2\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\,|1,0\rangle +{\frac {1}{\sqrt {2}}}\,|0,0\rangle }$

(c) stany ${\displaystyle |1/2,-1/2\rangle |1/2,+1/2\rangle }$ sprzęgają się w superpozycję stanów ${\displaystyle |1,0\rangle ,|0,0\rangle ,}$ tj.

${\displaystyle |1/2,-1/2\rangle |1/2,+1/2\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\,|1,0\rangle -{\frac {1}{\sqrt {2}}}\,|0,0\rangle }$

(d) stany ${\displaystyle |1/2,-1/2\rangle |1/2,-1/2\rangle }$ sprzęgają się w stan ${\displaystyle |1,-1\rangle ,}$ tj.

${\displaystyle |1/2,-1/2\rangle |1/2,-1/2\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\,|1,-1\rangle }$

Na podstawie powyższych tabel można znaleźć rozkład danego stanu sprzężonego ${\displaystyle |j,m\rangle }$ w bazie ${\displaystyle |j_{1},m_{1}\rangle |j_{2},m_{2}\rangle }$ stanów niesprzężonych: tym razem znajdujemy tabelę z odpowiednimi wartościami ${\displaystyle j,m,}$ a następnie odczytujemy współczynniki C-G w kolumnie, odpowiadającej tym wartościom.

Np. niech ${\displaystyle j=1,j_{1}=j_{2}=1/2;}$ wtedy liczby ${\displaystyle m_{j},m_{j_{1}},m_{j_{2}}}$ mogą mieć wartości:

${\displaystyle m_{j}=+1,0,-1,}$

${\displaystyle m_{j_{1}}=+1/2,-1/2,}$

${\displaystyle m_{j_{2}}=+1/2,-1/2.}$

Na podstawie tabel odczytujemy:

(a) stan ${\displaystyle |1,+1\rangle }$ rozkłada się w pojedynczy sposób

${\displaystyle |1,+1\rangle =|1/2,+1/2\rangle |1/2,+1/2\rangle }$

(b) stan ${\displaystyle |1,0\rangle }$ rozkłada się na superpozycję stanów

${\displaystyle |1,0\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\,|1/2,+1/2\rangle |1/2,-1/2\rangle +{\frac {1}{\sqrt {2}}}\,|1/2,-1/2\rangle |1/2,+1/2\rangle }$

(c) stan ${\displaystyle |1,-1\rangle }$ rozkłada się w pojedynczy sposób

${\displaystyle |1,+1\rangle =|1/2,+1/2\rangle |1/2,+1/2\rangle }$

(d) stan ${\displaystyle |0,0\rangle }$ rozkłada się na superpozycję stanów

${\displaystyle |0,0\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\,|1/2,+1/2\rangle |1/2,-1/2\rangle -{\frac {1}{\sqrt {2}}}\,|1/2,-1/2\rangle |1/2,+1/2\rangle }$

• David J. Griffiths, Introduction to Elementary particles, Cambridge University Press 2008.