Wzór Blacka-Scholesa

Wzór Blacka-Scholesa to podstawowy wzór wyceny optymalnej ceny opcji na kupno akcji lub towarów na giełdzie.

Niech:

${\displaystyle C}$ – cena opcji kupna,

${\displaystyle S}$ – aktualna cena instrumentu bazowego,

${\displaystyle X}$ – cena rozliczenia opcji,

${\displaystyle T}$ – termin wygaśnięcia opcji (liczony w latach),

${\displaystyle r}$ – wysokość stopy procentowej wolnej od ryzyka dla terminu wygaśnięcia opcji (stawka wyrażona w skali roku),

${\displaystyle \Phi (\dots )}$ – dystrybuanta standardowego rozkładu normalnego,

${\displaystyle \sigma }$ – współczynnik zmienności ceny instrumentu bazowego (ang. volatility).

${\displaystyle C=S\Phi \left({\frac {\ln {\frac {S}{X}}+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)T}{\sigma {\sqrt {T}}}}\right)-Xe^{-rT}\Phi \left({\frac {\ln {\frac {S}{X}}+\left(r-{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)T}{\sigma {\sqrt {T}}}}\right).}$

${\displaystyle P}$ – cena opcji sprzedaży

${\displaystyle P=Xe^{-rT}\Phi \left({\frac {-\ln {\frac {S}{X}}-\left(r-{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)T}{\sigma {\sqrt {T}}}}\right)-S\Phi \left({\frac {-\ln {\frac {S}{X}}-\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)T}{\sigma {\sqrt {T}}}}\right).}$

Uzasadnienie na przykładzie europejskiej opcji kupna – analogicznie dla innych rodzajów opcji.

W chwili, w której możemy wykorzystać opcję, objęty nią walor będzie miał pewną ceną rynkową. Jeśli cena zawarta w opcji jest korzystniejsza od rynkowej, zrealizujemy opcję i nasz zysk z tej operacji będzie równy różnicy między ceną oferowaną a ceną rynkową. Jeśli cena oferowana jest mniej korzystna, opcji oczywiście nie zrealizujemy.

Cena rynkowa w chwili realizacji ${\displaystyle S_{T}}$ jest pewną zmienną losową. Wartość oczekiwana zysku z realizacji opcji wynosi więc:

${\displaystyle E\left(S_{T}-X\right)^{+}=\int \limits _{X}^{+\infty }(S_{T}-X)P(S_{T})dS_{T}.}$

Ponieważ pieniądze te dostać możemy dopiero po upływie ustalonego czasu, musimy przyjąć odpowiednią poprawkę. Ponieważ 1 jednostka monetarna zainwestowana w inwestycje pozbawione ryzyka po upływie czasu ${\displaystyle T}$ jest warta ${\displaystyle e^{rT},}$ wartość opcji jest ${\displaystyle e^{rT}}$ razy mniejsza od spodziewanego zysku:

${\displaystyle C=e^{-rT}\int \limits _{X}^{+\infty }(S_{T}-X)P(S_{T})dS_{T}=e^{-rT}\left(\int \limits _{X}^{+\infty }S_{T}P(S_{T})dS_{T}-\int \limits _{X}^{+\infty }XP(S_{T})dS_{T}\right),}$

gdzie ${\displaystyle S_{T}}$ – cena akcji w chwili ${\displaystyle T}$ – jest zmienną losową.

Logarytm relatywnej zmiany ceny w jednostce czasu

${\displaystyle Y_{k}=\ln {\frac {S_{k+1}}{S_{k}}}}$

jest zmienną losową o rozkładzie, z dobrym przybliżeniem, normalnym, o odchyleniu standardowym równym ${\displaystyle \sigma }$ i średniej równej średniej stopie zwrotu z inwestycji na rynku – ${\displaystyle N(r,\sigma ^{2}).}$

Tak więc

${\displaystyle S_{T}=S_{0}\times e^{\ln {\frac {S_{1}}{S_{0}}}}\times e^{\ln {\frac {S_{2}}{S_{1}}}}\times \ldots \times e^{\ln {\frac {S_{T}}{S_{T-1}}}}=S_{0}e^{Y_{0}+\ldots +Y_{T-1}}=S_{0}e^{Y},}$

gdzie ${\displaystyle Y}$ jest sumą ${\displaystyle T}$ niezależnych zmiennych losowych o identycznym rozkładzie w przybliżeniu normalnym, tak więc ma rozkład ${\displaystyle N(Tr,T\sigma ^{2})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}C&=e^{-rT}\left(\int \limits _{S_{T}>X}S_{T}P(S_{T})dS_{T}-X\int \limits _{S_{T}>X}P(S_{T})dS_{T}\right)\\&=e^{-rT}\left(\int \limits _{S_{0}e^{Y}>X}S_{0}e^{Y}P(Y)dY-X\int \limits _{S_{0}e^{Y}>X}P(Y)dY\right)\\&=e^{-rT}\left(\int \limits _{Y>\ln {\frac {X}{S_{0}}}}S_{0}e^{Y}P(Y)dY-X\int \limits _{Y>\ln {\frac {X}{S_{0}}}}P(Y)dY\right)\\&=e^{-rT}\left(S_{0}\int \limits _{\ln {\frac {X}{S_{0}}}}^{+\infty }e^{Y}P(Y)dY-X\int \limits _{\ln {\frac {X}{S_{0}}}}^{+\infty }P(Y)dY\right).\end{aligned}}}$

Druga całka jest łatwa do policzenia – to dystrybuanta rozkładu normalnego o średniej ${\displaystyle rT}$ i wariancji ${\displaystyle \sigma ^{2}T.}$ Musimy jednak przekształcić pierwszą do wygodniejszej postaci.

${\displaystyle Y}$ możemy standaryzować, odejmując średnią ${\displaystyle rT}$ i dzieląc przez odchylenie standardowe ${\displaystyle \sigma {\sqrt {T}},}$ w wyniku czego otrzymujemy zmienną o standardowym rozkładzie normalnym.

${\displaystyle {\begin{aligned}C&=S_{0}e^{-rT}\int \limits _{\ln {\frac {X}{S_{0}}}}^{+\infty }e^{Y}P_{N(rT,\sigma ^{2}T)}(Y)dY-Xe^{-rT}\int \limits _{\ln {\frac {X}{S_{0}}}}^{+\infty }P_{N(rT,\sigma ^{2}T)}(Y)dY\\&=S_{0}e^{-rT}\int \limits _{\ln {\frac {X}{S_{0}}}}^{+\infty }e^{Y}P_{N(0,1)}\left({\frac {Y-rT}{\sigma {\sqrt {T}}}}\right)dY-Xe^{-rT}\int \limits _{\ln {\frac {X}{S_{0}}}}^{+\infty }P_{N(0,1)}\left({\frac {Y-rT}{\sigma {\sqrt {T}}}}\right)dY.\end{aligned}}}$

Przekształcając wyrażenie pod pierwszą całką:

${\displaystyle e^{Y}P_{N(0,1)}\left({\frac {Y-rT}{\sigma {\sqrt {T}}}}\right)=e^{Y}{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{{\frac {1}{2}}{\frac {(Y-rT)^{2}}{\sigma ^{2}T}}}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{{\frac {1}{2}}{\frac {(Y-rT)^{2}+2\sigma ^{2}TY}{\sigma ^{2}T}}}.}$

• instrumenty pochodne
• model Blacka-Scholesa

• Black-Scholes formula (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-04-23].