Wzór Perrona

Wzór Perrona – twierdzenie analitycznej teorii liczb, które pozwala wyrazić sumę częściową wartości danej funkcji arytmetycznej przy pomocy skojarzonego z nią szeregu Dirichleta. Twierdzenie zostało nazwane po Oskarze Perronie. Wykorzystuje się je w dowodzie twierdzenia o liczbach pierwszych, aby problem dyskretny przeformułować w kategoriach funkcji zeta Riemanna^[1].

Zapisywać będziemy ${\displaystyle s=\sigma +it}$, aby dla danej liczby zespolonej wyrazić jej część rzeczywistą i urojoną.

Niech

${\displaystyle F(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)}{n^{s}}}}$

będzie szeregiem Dirichleta zbieżnym bezwzględnie dla ${\displaystyle \sigma >\sigma _{a}}$. Niech ${\displaystyle c>0}$, ${\displaystyle x>0}$ będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi. Wówczas, dla ${\displaystyle \sigma >\sigma _{a}-c}$ zachodzi równość

${\displaystyle \sum _{n\leqslant x}'{\frac {f(n)}{n^{s}}}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-\infty i}^{c+\infty i}F(s+z){\frac {x^{z}}{z}}dz}$,

gdzie

${\displaystyle \int _{c-\infty i}^{c+\infty i}f(z)dz=\lim _{T\to \infty }\int _{c-Ti}^{c+Ti}f(z)dz}$

zapis ${\textstyle \sum '}$ oznacza, że ostatni składnik sumy pomnożony jest przez ${\displaystyle 1/2}$, gdy ${\displaystyle x}$ jest liczbą całkowitą. W szczególności, gdy ${\displaystyle s=0}$, to

${\displaystyle \sum _{n\leqslant x}'f(n)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-\infty i}^{c+\infty i}F(z){\frac {x^{z}}{z}}dz}$.

Korzystając z odwrotnej transformacji Mellina, treść dowodu można zapisać jako

${\displaystyle \sum _{n\leqslant x}'{\frac {f(n)}{n^{s}}}=\{{\mathcal {M}}^{-1}\varphi \}(x)}$,

gdzie ${\displaystyle \varphi (z)=F(s+z)}$^[2].

${\displaystyle c}$ jest częścią rzeczywistą zmiennej ${\displaystyle z}$ pod całką, więc szereg ${\displaystyle F(s+z)}$ jest zbieżny bezwzględnie i jednostajnie na każdym zwartym podzbiorze półpłaszczyzny ${\displaystyle \sigma +c>\sigma _{a}}$. Stąd

${\displaystyle \int _{c-Ti}^{c+Ti}F(s+z){\frac {x^{z}}{z}}dz=\int _{c-Ti}^{c+Ti}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)}{n^{s+z}}}{\frac {x^{z}}{z}}dz=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)}{n^{s}}}\int _{c-Ti}^{c+Ti}\left({\frac {x}{n}}\right)^{z}{\frac {dz}{z}}}$.

Powyższą sumę można rozdzielić na części, gdzie ${\displaystyle n<x}$, ${\displaystyle n>x}$ i ewentualnie trzeci składnik.

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)}{n^{s}}}\int _{c-Ti}^{c+Ti}\left({\frac {x}{n}}\right)^{z}{\frac {dz}{z}}=\sum _{n<x}{\frac {f(n)}{n^{s}}}\int _{c-Ti}^{c+Ti}\left({\frac {x}{n}}\right)^{z}{\frac {dz}{z}}+\sum _{n<x}{\frac {f(n)}{n^{s}}}\int _{c-Ti}^{c+Ti}\left({\frac {x}{n}}\right)^{z}{\frac {dz}{z}}+'{\frac {f(x)}{x^{s}}}\int _{c-Ti}^{c+Ti}{\frac {dz}{z}}}$,

przy czym zapis ${\displaystyle +'}$ oznacza, że ostatnie wyrażenie uwzględnia się wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle x}$ jest liczbą całkowitą. Reszta dowodu wynika z tożsamości

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-\infty i}^{c+\infty i}a^{z}{\frac {dz}{z}}={\begin{cases}1\quad {\text{dla}}\quad a>1,\\{\frac {1}{2}}\quad {\text{dla}}\quad a=1,\\0\quad {\text{dla}}\quad 0<a<1\end{cases}}}$

prawdziwej dla dowolnych liczb rzeczywistych ${\displaystyle a>0}$, ${\displaystyle c>0}$ oraz z nierówności

${\displaystyle \left|{\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-\infty i}^{c+\infty i}a^{z}{\frac {dz}{z}}\right|\leqslant {\frac {a^{c}}{\pi T\log(1/a)}}}$

prawdziwej dla ${\displaystyle 0<a<1}$. Dla ${\displaystyle a=x/n>1}$,

${\displaystyle \sum _{n<x}{\frac {f(n)}{n^{s}}}\int _{c-Ti}^{c+Ti}\left({\frac {x}{n}}\right)^{z}{\frac {dz}{z}}=\sum _{n<x}{\frac {f(n)}{n^{s}}}}$.

Zaś jeśli ${\displaystyle a=x/n<1}$, to

${\displaystyle \left|\sum _{n>x}{\frac {f(n)}{n^{s}}}\int _{c-Ti}^{c+Ti}\left({\frac {x}{n}}\right)^{z}{\frac {dz}{z}}\right|\leqslant \sum _{n>x}{\frac {|f(n)|}{n^{\sigma }}}{\frac {2}{T}}\left({\frac {x}{n}}\right)^{c}{\frac {1}{\log \left({\frac {1+\lfloor x\rfloor }{x}}\right)}}={\frac {2}{T}}{\frac {x^{c}}{\log \left({\frac {1+\lfloor x\rfloor }{x}}\right)}}\sum _{n>x}{\frac {|f(n)|}{n^{c+\sigma }}}}$,

gdzie ${\displaystyle \lfloor \cdot \rfloor }$ oznacza część całkowitą liczby. Występujący czynnik będący szeregiem jest skończony, więc prawa strona dąży do 0 gdy ${\displaystyle T\to \infty }$. To dowodzi wzór Perrona^[2].

Klasyczne przykłady wykorzystania wzoru Perrona dotyczą przede wszystkim funkcji zeta Riemanna. Wszystkie one dotyczą przedstawienia funkcji na półpłaszczyźnie ${\displaystyle \sigma >1}$, ze względu na charakter twierdzenia.

${\displaystyle \zeta (s)=s\int _{1}^{\infty }{\frac {\lfloor x\rfloor }{x^{s+1}}}dx}$,

${\displaystyle {\frac {1}{\zeta (s)}}=s\int _{1}^{\infty }{\frac {M(x)}{x^{s+1}}}dx}$,

gdzie ${\textstyle M(x)=\sum _{n\leqslant x}\mu (n)}$ oznacza funkcję Mertensa,

${\displaystyle -{\frac {\zeta '(s)}{\zeta (s)}}=s\int _{1}^{\infty }{\frac {\psi (x)}{x^{s+1}}}dx,}$

gdzie ${\displaystyle \psi (x)}$ jest drugą funkcją Czebyszewa^[2].