Wzór sumacyjny Abela

Wzór sumacyjny Abela (także: sumowanie przez części Abela) – tożsamość wykorzystywana w analitycznej teorii liczb. Swoją nazwę nosi po nazwisku Nielsa Henrika Abela^[1].

Niech ${\displaystyle (a_{n})_{n=0}^{\infty }}$ będzie ciągiem liczb rzeczywistych lub zespolonych. Oznaczmy

${\displaystyle A(t)=\sum _{0\leqslant n\leqslant t}a_{n}.}$

Ponadto, niech ${\displaystyle f\colon [x,y]\to \mathbb {C} }$ będzie ciągłą funkcją całkowalną dla liczb rzeczywistych ${\displaystyle y>x\geqslant 0.}$ Wówczas zachodzi równość

${\displaystyle \sum _{x<n\leqslant y}a_{n}f(n)=A(y)f(y)-A(x)f(x)-\int _{x}^{y}A(t)f'(t)dt.}$

Wzór można udowodnić, stosując całkowanie przez części całki Riemanna-Stieltjesa funkcji ${\displaystyle A}$ i ${\displaystyle f.}$