Zasada maksimum Pontriagina

Zasada Maksimum Pontriagina – zasada bazująca na równaniach Lagrange’a oraz równaniach Hamiltona. Mówi ona, jakiego sterowania ${\displaystyle u(t)}$ należy użyć w układzie sterowania^[1], aby uzyskać wynik optymalizujący zadane kryterium sterowania${\displaystyle (L(x,u)).}$ Przy rozwiązywaniu tego zagadnienia stosowany jest diagram fazowy (portret fazowy)^[2].

Utwórzmy hamiltonian ${\displaystyle H(x,\psi ,u)=\psi ^{T}f(x,u)-L(x,u).}$ Wówczas istnieje ${\displaystyle x^{*}(t),}$ ${\displaystyle \psi ^{*}(t),}$ ${\displaystyle u^{*}(t)<\,>0}$ spełniające równania kanoniczne Hamiltona:

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=f(x,u)={\frac {\partial H(x^{*},\psi ^{*},u^{*})}{\partial \psi }},}$

${\displaystyle {\frac {d\psi }{dt}}=-{\frac {\partial H}{\partial x}}.}$

takie, że ${\displaystyle H(x^{*}(t),\psi ^{*}(t),u^{*}(t))=\max _{u}H(x^{*}(t),\psi ^{*}(t),u)=a,}$ gdzie:

${\displaystyle a=0}$ dla czasu ${\displaystyle t}$ swobodnego lub

${\displaystyle a=\mathrm {const} }$ dla czasu ograniczonego.

• Lew Pontriagin