Zawieszenie (topologia)

Zawieszeniem ${\displaystyle SX}$ przestrzeni topologicznej ${\displaystyle X}$ jest przestrzeń ilorazowa powstała przez podzielenie iloczynu ${\displaystyle X\times I}$ tej przestrzeni przez przedział jednostkowy ${\displaystyle I=[0;1]}$ przez relację równoważności ${\displaystyle \sim }$^[1][2]:

${\displaystyle X\times I/\sim ,}$

która ściąga punkty każdej z „podstaw” ${\displaystyle X\times \{0\}}$ i ${\displaystyle X\times \{1\}}$ do punktu, czyli dla ${\displaystyle (x,t),(x',t')\in X\times I}$

${\displaystyle (x,t)\sim (x',t')\Leftrightarrow (x,t)=(x',t')\,\vee \,t=t'=0\vee t=t'=1.}$

Nieco mniej formalnie można to zapisać następująco:

${\displaystyle SX=(X\times I)/\{(x_{1},0)\!\sim \!(x_{2},0)\;\;{\mbox{ i }}(x_{1},1)\!\sim \!(x_{2},1){\mbox{ dla dowolnych }}x_{1},x_{2}\in X\}.}$

Geometrycznie zawieszenie jest wielościanem, który można uzyskać z iloczynu ${\displaystyle K\times I}$ poprzez ściągnięcie do punktu każdej z podstaw: ${\displaystyle (x,0)\sim (x',0)}$ i ${\displaystyle (x,1)\sim (x',1)}$ dla dowolnych ${\displaystyle x,x'\in X}$^[2].

Stożkiem przekształcenia łańcuchowego ${\displaystyle f_{\bullet }:K_{\bullet }\rightarrow L_{\bullet }}$ nazywamy kompleks łańcuchowy ${\displaystyle Cf_{\bullet },}$ w którym:

${\displaystyle (Cf)_{n}=L_{n}\oplus K_{n-1},}$

${\displaystyle \partial ^{Cf}(y,x)=(\partial ^{L}y+fx,-\partial ^{K}x),}$ gdzie ${\displaystyle (y,x)\in Cf.}$

Jeśli ${\displaystyle L_{\bullet }=0,}$ to kompleks ${\displaystyle Cf_{\bullet }}$ jest nazywany zawieszeniem i oznaczany przez ${\displaystyle K_{\bullet }^{+}.}$ W kompleksie tym:

${\displaystyle (K^{+})_{n}=K_{n-1},}$

${\displaystyle \partial ^{K^{+}}=-\partial ^{K}}$^[3].

• funktory sprzężone
• stożek (topologia)
• topologia zwarto-otwarta

• Roman Duda: Wprowadzenie do topologii. Cz. I. Topologia ogólna. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1986, seria: Biblioteka Matematyczna. Tom 61. ISBN 83-01-05714-9.
• A. Dold: Lectures on algebraic topology. Berlin Heidelberg New York: Springer Verlag, 1972.
• Marvin Greenberg: Wykłady z topologii algebraicznej. Warszawa: PWN, 1980. ISBN 83-01-00415-0.

• Allen Hatcher: Algebraic topology. Cambridge: Cambridge University Press, 2002. ISBN 0-521-79160-X.