Algorytm linearyzacji statycznej

Algorytm linearyzacji statycznej – jeden z algorytmów służących do sterowania manipulatorem elastycznym. Pozwala on zamienić nieliniowy układ w poczwórny integrator.

Model manipulatora zapisany jest jako:

${\displaystyle M_{1}q_{1}^{''}+Cq_{1}^{'}+D_{1}+K(q_{1}-q_{2})=0}$

${\displaystyle Iq_{2}^{''}+K(q_{2}-q_{1})=u}$

Powyższy model można zapisać także w innej postaci. W tym celu wprowadza się nowe zmienne:

${\displaystyle x_{1}=q_{1},}$

${\displaystyle x_{2}=q_{1}^{'},}$

${\displaystyle x_{3}=q_{2},}$

${\displaystyle x_{4}=q_{2}^{'},}$

a następnie wyznacza się ich pochodne (wzory zostały uproszczone, aby nie komplikować zapisu):

${\displaystyle x_{1}^{'}=x_{2}}$

${\displaystyle x_{2}^{'}=F(x_{1},x_{2})+H_{1}(x_{1})x_{3}}$

${\displaystyle x_{3}^{'}=x_{4}}$

${\displaystyle x_{4}^{'}=H_{2}(x_{1},x_{3})+I^{-1}u.}$

W kolejnym kroku wprowadzane są współrzędne linearyzujące.

${\displaystyle \xi _{1}=x_{1},}$

${\displaystyle \xi _{2}=x_{2},}$

${\displaystyle \xi _{3}=F(x_{1},x_{2})+H_{1}(x_{1})x_{3},}$

${\displaystyle \xi _{4}=H_{3}(x_{1},x_{2},x_{3})+H_{1}(x_{1})x_{4}.}$

Podobnie jak wcześniej wyznaczane są ich pochodne:

${\displaystyle \xi _{1}^{'}=x_{1}^{'}=x_{2}=\xi _{2},}$

${\displaystyle \xi _{2}^{'}=x_{2}^{'}=\xi _{3},}$

${\displaystyle \xi _{3}^{'}=\xi _{4},}$

${\displaystyle \xi _{4}^{'}=H_{4}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})+H_{1}(x_{1})I^{-1}u.}$

Na koniec wprowadzane jest sprzężenie, którego zadaniem będzie pozbycie się nieliniowości ze wzoru na ${\displaystyle \xi _{4}^{'}{:}}$

${\displaystyle u=IK^{-1}M_{1}^{-1}[-H_{4}+v],}$

gdzie ${\displaystyle v}$ to nowe sterowanie.

Uzyskiwany jest w ten sposób układ zapisany jako:

${\displaystyle \xi _{1}^{'}=x_{1}^{'}=x_{2}=\xi _{2},}$

${\displaystyle \xi _{2}^{'}=x_{2}^{'}=\xi _{3},}$

${\displaystyle \xi _{3}^{'}=\xi _{4},}$

${\displaystyle \xi _{4}^{'}=v.}$

Jest to poczwórny integrator (układ składający się z czterech modułów całkujących).

Zadaniem układu jest śledzenie zadanej trajektorii, tzn. ${\displaystyle e=q_{1}-q_{1d}\to 0.}$ Po zastosowaniu sterowania ${\displaystyle v}$ o odpowiedniej postaci uzyskiwany jest warunek na eksponencjalną zbieżność błędu do zera:

${\displaystyle e^{(4)}+K_{3}e^{(3)}+K_{2}e^{(2)}+K_{1}e^{(1)}+K_{0}e=0.}$

W tym przypadku wartości ${\displaystyle K_{i}}$ wyznaczane są z twierdzenia Hurwitza.

• algorytm całkowania wstecznego

• K.Tchoń, A.Mazur, I.Dulęba, R.Hossa, R.Muszyński, Manipulatory i roboty mobilne. Modele, planowanie ruchu, sterowanie, Warszawa 2000 (ISBN 83-7101-427-9).