Algorytm całkowania wstecznego

Algorytm całkowania wstecznego – sposób na sterowanie manipulatorem elastycznym.

Model manipulatora zapisany jest jako:

${\displaystyle M_{1}q_{1}^{''}+Cq_{1}^{'}+D_{1}+K(q_{1}-q_{2})=0,}$

${\displaystyle Iq_{2}^{''}+K(q_{2}-q_{1})=u.}$

Tak jak w algorytmie linearyzacji statycznej wprowadza się nowe współrzędne:

${\displaystyle x_{1}=q_{1},}$

${\displaystyle x_{2}=q_{1}^{'},}$

${\displaystyle x_{3}=q_{2},}$

${\displaystyle x_{4}=q_{2}^{'},}$

ale dodaje się także współrzędne związane z trajektorią:

${\displaystyle x_{1d}=q_{1d},}$

${\displaystyle x_{2d}=q_{1d}^{'},}$

${\displaystyle x_{3d}=q_{2d},}$

${\displaystyle x_{4d}=q_{2d}^{'}.}$

Wpierw przekształca się model manipulatora tak, aby wyodrębnić ${\displaystyle q_{2},}$ a następnie przedstawia go w postaci zawierającej współrzędne zadane:

${\displaystyle M_{1}q_{1d}^{''}+Cq_{1d}^{'}+D_{1}+Kq_{1d}=Kq_{2d},}$

${\displaystyle q_{2d}=K^{-1}M_{1}q_{1d}^{''}+K^{-1}Cq_{1d}^{'}+K^{-1}D_{1}+q_{1d}.}$

Na koniec wyznacza się wzory na błąd oraz prędkość błędu:

${\displaystyle x_{i}-x_{id}=e_{i},}$

gdzie ${\displaystyle i=1,2,3,4.}$

${\displaystyle e_{1}^{'}=e_{2},}$

${\displaystyle e_{2}^{'}=F_{4}(e_{1},e_{2},t)+F_{2}(e_{1},t)e_{3},}$

${\displaystyle e_{3}^{'}=e_{4},}$

${\displaystyle e_{4}^{'}=F_{5}(e_{1},e_{3},t)+I^{-1}u.}$

Z powyższego wynika, że steruje się błędami, a nie wartością położeń. Jest to najbardziej kłopotliwa część tego algorytmu. Wykonuje się ją w czterech krokach; poniżej przedstawiony jest tylko pierwszy krok oraz rozwiązania poszczególnych kroków.

Układ traktuje się jako strukturę kaskadową, dlatego też obliczenia zaczyna się od pierwszego błędu:

${\displaystyle e_{1}^{'}=e_{2}.}$

Aby błąd malał do zera wymagane jest spełnienie warunku ${\displaystyle e_{1}^{'}<0.}$ Z tego powodu najlepszym rozwiązaniem jest:

${\displaystyle e_{1}^{'}=-R_{0}e_{1},}$

gdzie ${\displaystyle R_{0}>0.}$

Następnie konstruuje się funkcję Lapunowa:

${\displaystyle V_{1}(e_{1})={\frac {1}{2}}e_{1}^{T}e_{1}}$

i wyznacza się jej pochodną:

${\displaystyle V_{1}^{'}(e_{1})=-e_{1}^{T}R_{0}e_{1},}$

co oznacza, że pochodna będzie mniejsza lub równa zero. W ten sposób uzyskuje się globalną eksponencjalną stabilność.

W kroku drugim rozpatrywane jest pierwsze oraz drugie równanie:

${\displaystyle e_{1}^{'}=e_{2},}$

${\displaystyle e_{2}^{'}=F_{4}+F_{2}e_{3}.}$

Od tego kroku konstruowane będą jedynie funkcje Lapunowa w postaci sumy poprzedniej funkcji oraz nowej formy kwadratowej.

${\displaystyle V_{2}(e_{1},e_{2})=V_{1}(e_{1})+{\frac {1}{2}}(e_{2}+R_{0}e_{1})^{T}(e_{2}+R_{0}e_{1}).}$

Uzyskuje się wzór na trzeci błąd:

${\displaystyle e_{3}=F_{2}^{-1}(-R_{1}e_{2}-R_{1}R_{0}e_{1}-F_{4}-R_{0}e_{2})=-H(e_{1},e_{2},t).}$

W kroku trzecim wyznaczany jest wzór na ${\displaystyle e_{4}{:}}$

${\displaystyle e_{4}=-R_{2}(e_{3}+H)-H'=-H_{2}.}$

W kroku czwartym i ostatnim poszukiwane sterowanie:

${\displaystyle u=-IF_{5}-IH_{2}^{'}-IR_{3}(e_{4}+H_{2}).}$

Wystarczy rozwinąć wzór do pełnej postaci i otrzymuje się przepis na sterowanie manipulatorem elastycznym. Dowód na stabilność rozwiązania opiera się na lemacie Barbalata.

• algorytm linearyzacji statycznej

• K. Tchoń, A. Mazur, I. Dulęba, R. Hossa, R. Muszyński, Manipulatory i roboty mobilne. Modele, planowanie ruchu, sterowanie, Warszawa 2000, ISBN 83-7101-427-9.