Lemat Barbălata

Lemat Barbălata – twierdzenie analizy matematycznej udowodnione w 1959 przez Ioana Barbălata^[1], które mówi, że jeżeli funkcja

${\displaystyle f\colon [a,\infty )\to \mathbb {R} }$

jest jednostajnie ciągła oraz całka niewłaściwa

${\displaystyle I=\int \limits _{a}^{\infty }f(\tau )\,\mathrm {d} \tau }$

istnieje i jest skończona, to

${\displaystyle \lim _{t\to \infty }f(t)=0}$^[2][3][4].

Rozumując nie wprost: niech ${\displaystyle f(t)}$ nie zbiega do ${\displaystyle 0,}$ gdy ${\displaystyle t\to \infty .}$ Oznacza to, że dla pewnego ${\displaystyle \varepsilon _{0}>0}$ oraz wszelkich ${\displaystyle n>0}$ istnieje takie ${\displaystyle t_{n}>n,}$ że

${\displaystyle {\Big |}f(t_{n}){\Big |}\geqslant \varepsilon _{0}.}$

Niech ${\displaystyle \delta }$ będzie liczbą odpowiadającą ${\displaystyle {\frac {\varepsilon _{0}}{2}}}$ w definicji jednostajnej ciągłości, którą spełnia z założenia ${\displaystyle f.}$ Oznacza to, że

${\displaystyle {\Big |}f(t)-f(t_{n}){\Big |}\leqslant {\frac {\varepsilon _{0}}{2}},}$

o ile tylko

${\displaystyle |t-t_{n}|<\delta .}$

Stąd dla wszelkich ${\displaystyle t\in [t_{n},t_{n}+\delta ]}$ zachodzi

${\displaystyle {\begin{aligned}{\Big |}f(t){\Big |}&={\Big |}f(t_{n})-{\big (}f(t_{n})-f(t){\big )}{\Big |}\\&\geqslant {\Big |}f(t_{n}){\Big |}-{\Big |}f(t_{n})-f(t){\Big |}\\&\geqslant {\Big |}f(t_{n}){\Big |}-{\frac {\varepsilon _{0}}{2}}\\&\geqslant \varepsilon _{0}-{\frac {\varepsilon _{0}}{2}}={\frac {\varepsilon _{0}}{2}},\end{aligned}}}$

(1)

co wobec dodatniości ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ oznacza

${\displaystyle {\Big |}f(t){\Big |}>0.}$

(2)

Z jednej strony więc

${\displaystyle {\begin{aligned}\left|\int \limits _{a}^{t_{n}+\delta }f(\tau )\,\mathrm {d} \tau -\int \limits _{a}^{t_{n}}f(\tau )\,\mathrm {d} \tau \right|&=\left|\int \limits _{t_{n}}^{t_{n}+\delta }f(\tau )\,\mathrm {d} \tau \right|\\&\ {\stackrel {(*)}{=}}\int \limits _{t_{n}}^{t_{n}+\delta }{\Big |}f(\tau ){\Big |}\,\mathrm {d} \tau \\&\ {\stackrel {(**)}{\geqslant }}\int \limits _{t_{n}}^{t_{n}+\delta }{\frac {\varepsilon _{0}}{2}}\,\mathrm {d} \tau \\&={\frac {\varepsilon _{0}}{2}}\cdot \delta >0,\end{aligned}}}$

przy równość (*) wynika stąd, że funkcja ${\displaystyle f(x)}$ w przedziale ${\displaystyle [t_{n},t_{n}+\delta ]}$ nie zmienia znaku; gdyby bowiem zmieniała, to jako funkcja ciągła musiałaby, wbrew wykazanej zależności (2), osiągać w pewnym punkcie przedziału wartość 0 (zob. własność Darboux). Nierówność (**) wynika bezpośrednio z (1).

Z drugiej jednak strony,

${\displaystyle {\begin{aligned}&\lim _{n\to \infty }\left|\int \limits _{a}^{t_{n}+\delta }f(\tau )\,\mathrm {d} \tau -\int \limits _{a}^{t_{n}}f(\tau )\,\mathrm {d} \tau \right|\\[1ex]={}&\left|\lim _{n\to \infty }\int \limits _{a}^{t_{n}+\delta }f(\tau )\,\mathrm {d} \tau -\lim _{n\to \infty }\int \limits _{a}^{t_{n}}f(\tau )\,\mathrm {d} \tau \right|\\[1ex]={}&\left|\int \limits _{a}^{\infty }f(\tau )\,\mathrm {d} \tau -\int \limits _{a}^{\infty }f(\tau )\,\mathrm {d} \tau \right|\\[1ex]={}&|I-I|=0,\end{aligned}}}$

co prowadzi do sprzeczności^[5].

G. Tao udowodnił, że teza lematu zachodzi także dla funkcji różniczkowalnych z przestrzeni ${\displaystyle L_{2}([0,\infty )),}$ których pochodna należy do ${\displaystyle L_{\infty }([0,\infty ))}$^[6].

• B. Farkas, S.-A. Wegner, Variations on Barbălat’s Lemma, The American Mathematical Monthly 123(8) (2014) 825–830.
• H.K. Khalil, Nonlinear Systems, Macmillan Publishing Company, New York, 1992.
• V.M. Popov, Hyperstability of Control Systems, Springer-Verlag, New York, 1973.
• J.-J.E. Slotine, W. Li, Applied Nonlinear Control, Englewood Cliffs, New Jersey, 1991.