Funkcja

Wykres ${\displaystyle W}$ to zbiór tylko takich par, że dla każdego elementu ${\displaystyle x}$ z ${\displaystyle X}$ istnieje dokładnie jeden ${\displaystyle y}$ z ${\displaystyle Y,}$ taki że para ${\displaystyle (x,y)}$ znajduje się w zbiorze ${\displaystyle W}$ (czyli owa para jest „punktem” z wykresu funkcji).

Zauważmy że dla teoriomnogościowej definicji trójki jako pewnego zbioru (co zwykle się przyjmuje), funkcja ${\displaystyle f}$ staje się zbiorem.

Powyższa definicja nazywana jest definicją Bourbakiego^[7][8] (wprowadzoną w 1954 r.^[14]), a jej odmianą zredukowaną tylko do wykresu (tj. ${\displaystyle f=W}$), również powszechnie używaną jest definicja Peano.

Przykład ${\displaystyle }$

Niech dziedzina będzie zbiorem składającym się z trzech liczb tj. ${\displaystyle X=\{1,2,3\}}$, przedziwdziedzina zbiorem składającym się z czterech liter tj. ${\displaystyle Y=\{a,b,c,d\}}$. Niech wykres funkcji będzie następującym zbiorem ${\displaystyle W=\{(1,a),(2,b),(3,b)\}}$. Wówczas możemy zapisać formalnie funkcję ${\displaystyle f}$ jak następującą trójkę zbiorów: ${\displaystyle f={\Big (}\ \ \ \{1,2,3\},\ \ \ \{a,b,c,d\},\ \ \ \{(1,a),(2,b),(3,b)\}\ \ \ {\Big )}}$ Na obrazku poniżej znajduje się przedstawienie trzech elementów powyższej funkcji czyli zbiorów ${\displaystyle X,Y,W}$. W celach poglądowych, elmenty z ${\displaystyle X}$ i ${\displaystyle Y}$ tworzące pary w zbiorze ${\displaystyle W}$ połączono szarymi strzałkami. W świetle formalnej definicji funkcji, zwróćmy uwagę że każdy element z dziedziny ${\displaystyle X}$ musi znajdować się w dokładnie jednej parze (jako jej pierwszy element) w zbiorze ${\displaystyle W}$ tzn. patrząc na obrazek, z kadego elementu należacego do zbioru ${\displaystyle X}$ musi wychodzić dokładnie jedna szara strzałka (do jakiegoś elementu z ${\displaystyle Y}$), jeżeli z jakiegoś elementu w ${\displaystyle X}$ nie wychodziła by żadna strzałka (nie miał by pary) albo wychodziły by dwie strzałki lub więcej (byłby w wielu parach), to ${\displaystyle f}$ nie było by funkcją, nie każdy element z przeciwdziedziny ${\displaystyle Y}$ musi być elementem jakieś pary np. litera ${\displaystyle c}$ nie ma pary, dany element ze zbioru ${\displaystyle Y}$ może być elementem wielu par np. litera ${\displaystyle b}$ wystepje w dwóch parach: ${\displaystyle (2,b)}$ oraz ${\displaystyle (3,b)}$, wykres czyli zbiór ${\displaystyle W}$ nie może zawierać par w których pierwszy element pary nie należy do ${\displaystyle X}$ lub drugi element pary nie należy do ${\displaystyle Y}$ np. dla powyższej funkcji to takie pary w zbiorze ${\displaystyle W}$ są niedozwolone: ${\displaystyle (a,1)}$, ${\displaystyle (4,b)}$, ${\displaystyle (1,e)}$ czy ${\displaystyle (5,g)}$ . Korzystając z notacji tradycyjnej (zwykle używanej) funkcję ${\displaystyle f}$ zapisalibyśmy następująco: ${\displaystyle f:\{1,2,3\}\rightarrow \{a,b,c,d\},f(x)={\begin{cases}a,&{\text{gdy }}x=1\\b,&{\text{gdy }}x=2\vee x=3.\\\end{cases}}}$

Zbiór wszystkich funkcji ze zbioru ${\displaystyle X}$ do zbioru ${\displaystyle Y}$ oznacza się ${\displaystyle Y^{X}}$^[2].

Zgodnie z definicja formalną, każda funkcja może przyjmować dokładnie jeden argument (który jest elementem dziedziny). Jednak dziedzina w szczególności może być zbiorem par albo trójek albo w ogólności n-tek . Funkcje o takiej dziedzinie nazywamy funkcjami wielu zmiennych. Do ich zapisu stosujemy skrót notacyjny polegający na omijaniu nawiasów danej pary, trójki itd. będącej argumentem, podczas podstawiania jej do funkcji. Przykładowo dla argumenu ${\displaystyle (1,2)}$ zamiast pisać

${\displaystyle f((1,2))}$

zapisujemy skrótowo:

${\displaystyle f(1,2)}$.

Warto wspomanieć, że wynikiem funkcji również jest dokładnie jedna wartość ale może ona być n-tką zawierająca wiele elementów (np. ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{3}}$ przyjmuje parę a zwraca trójkę liczb).

Szczegółowe przykłady ${\displaystyle }$

Rozważmy funkcję której dziedzina to ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}=\mathbb {R} \times \mathbb {R} =\left\{(u,v)\colon u\in \mathbb {R} \;\wedge \;v\in \mathbb {R} \right\}}$ (iloczyn kartezjański) czyli każdy element ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{2}}$ z dziedziny jest parą dwóch liczb rzeczywistych tj. ${\displaystyle x=(u,v)}$. Przeciwdziedziną zaś niech będzie ${\displaystyle \mathbb {R} }$ zaś wykresem ${\displaystyle f(x)=f((u,v))=u^{2}+v^{2}}$. Zwróćmy uwagę że tak zdefiniowana funkcja przyjmuje defacto dwie liczby ${\displaystyle u,v}$ (stanowiące jedną parę ${\displaystyle (u,v)}$ oznaczoną przez ${\displaystyle x}$ ) jako argument a zwraca w wyniku jedną liczbę (będącą sumą kwadratów elementów pary). Kożystając z tradycyjnej notacji zapiszemy ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }$, ${\displaystyle f(u,v)=u^{2}+v^{2}}$ zwróćmy uwagę, że zamiast ${\displaystyle f((u,v))}$ zapisano ${\displaystyle f(u,v)}$ a więc pominięto wewnętrzne nawiasy - jest to powszechnie stosowany skrót notacyjny. Formalnie funkcja przyjmuje tylko jeden argument (który jest parą liczb). Formalnie powyższa funkcja ma taką postać: ${\displaystyle f=\left(\mathbb {R} ^{2},\mathbb {R} ,\left\{\left((u,v),u^{2}+v^{2}\right):u,v\in \mathbb {R} \right\}\right)}$ ${\displaystyle f:[0,1]^{4}\to \mathbb {R} ,f(x,y,z,t)=t+xyz}$, (${\displaystyle [0,1]}$ to przedział domknięty wszystkich liczb rzeczywistych od 0 do 1) z definicji ${\displaystyle f=([0,1]^{4},\mathbb {\mathbb {R} } ,\{((x,y,z,t),t+xyz):x,y,z,t\in [0,1]\})}$, np. funkcja określa temperaturęw każdym punkcie kostki o boku 1, w każdym momencie przedział czasu od 0 do 1. ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {\mathbb {R} } ^{3},f(x)=(x^{2},x,0)}$. Wynikiem działania tej funkcji jest trójka liczb którą można interpretować jak współrzedne x,y,z w przestrzeni 3D (w tym przypadku z=0). Z definicji ${\displaystyle f=(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ^{3},\{(x,(x^{2},x,0)):x\in \mathbb {R} \})}$ (funkcja przyporządkowuje każdej liczbie pewien punkt na płaszczyźnie (z=0) w przestrzeni trójwymiarowej - czyli rysuje płaską krzywą w 3D), np. funkcja określa położenie pewnego pojazdu na płaskiej nawierzchni w czasie x.

Operacje arytmetyczne na liczbach są funkcjami wielu (zwykle dwóch) zmiennych np. dodawanie liczb naturalnych ${\displaystyle +:\mathbb {N} ^{2}\to \mathbb {N} }$ (do oznaczenia tej funkcji użyto tu znaku "${\displaystyle +}$" zamist litery "${\displaystyle f}$") z indywidualną notacją w której zamiast pisać ${\displaystyle +(a,b)}$ piszemy ${\displaystyle a+b}$, oraz uwzględniamy szereg specyficznych reguł związanych ze składaniem operacji dodawania z samą sobą i innymi operacjami z uwzględnieniem nawiasów. Przykładowo:

${\displaystyle a+b+c=+(+(a,b),c)}$

${\displaystyle (a+b)\cdot c=\cdot (+(a,b),c)}$,

notacja (lewa strona powyższych równości) jest intepretowana (prawa strona równości) jako odpowiednie złożenie funkcji ${\displaystyle +}$ oraz ${\displaystyle \cdot }$ właśnie ze względu na uwzględnienie owych reguł.

Formalna definicja

Będziemy chcieli zdefiniowac funkcję ${\displaystyle +=(\mathbb {N} ^{2},\mathbb {N} ,\{((a,b),a+b):a,b\in \mathbb {N} \}}$. Punktem z wykresu ${\displaystyle W}$ tej funkcji jest para ${\displaystyle ((a,b),a+b)}$ która zawiera informację o składnikach ${\displaystyle (a,b)}$ i wyniku ${\displaystyle a+b}$. Niemniej taki zapis jest niepoprawny gdyż definicja wewnątrz odwołuje się do samej siebie (użyto czyli znaku ${\displaystyle +}$ po lewej i prawej stronie równości). Skonstruujumy zatem wykres tej funkcji inaczej. Najpierw skonstuujmy wykres dla wszystkich liczb naturalnych dla których dodjemy zero (czyli nic się nie zmienia więc nie musimy używać znaku ${\displaystyle +}$ w jego definiji): ${\displaystyle W_{0}=\{((a,0),a):a\in \mathbb {N} \}}$ Następnie, korzystając z definicji von Neumanna liczb naturalnych, gdzie możemy użyć następnika zdefiniowanego jako ${\displaystyle S(a)=a\cup \{a\}}$ oraz ${\displaystyle 0=\{\}}$, możemy na bazie ${\displaystyle W_{0}}$ zdefiniować wykres ${\displaystyle W_{1}=\{((a,1),a+1):((a,0),a)\in W_{0}\}}$ dla wszystkich liczb naturalnych dla których dodano 1, ale musimy zamiast działania ${\displaystyle a+1}$ (które właśnie definiujemy) użyć następnika S: ${\displaystyle W_{1}=\{((a,1),S(a)):((a,0),a)\in W_{0}\}}$ podobnie możemy zrobić dla ${\displaystyle W_{2}=\{((a,2),a+2):((a,1),a+1)\in W_{1}\}}$, oraz ${\displaystyle W_{3},...}$ itd. ${\displaystyle W_{2}=\{((a,2),S(S(a))):((a,1),S(a))\in W_{1}\}}$ ${\displaystyle W_{3}=\{((a,3),S(S(S(a)))):((a,2),S(S(a)))\in W_{2}\}}$ ... itd. W ogólności możemy utworzyć formłę indykcyjną (bazującą na poprzednich zbiorach) która dla dowolnej liczby ${\displaystyle b>1}$ na bazie zbioru ${\displaystyle W_{b}}$ (opisującego dodawanie liczby b do każdej liczby naturalnej) utworzy zbiór ${\displaystyle W_{b+1}}$ (opisujący dodawanie ${\displaystyle b+1=S(b)}$ dla każdej liczby naturalnej): ${\displaystyle W_{S(b)}=\{((a,S(b)),S(c)):((a,b),c)\in W_{b}\}}$ W ten sposób zbiory ${\displaystyle W_{b}}$ opisują wynik dodawania każdej pary liczb naturalnych, przenoszac wszystkie elementy tych zbiory do jednego zbioru, otrzymamy ostateczny wykres dodawania wszystkich liczb naturalnych, a pełną definicję formalną możemy wówczas zapisać tak ${\displaystyle +=(\mathbb {N} ^{2},\mathbb {N} ,\bigcup _{b\in \mathbb {N} }W_{b})}$

Funkcje które mogą przyjmować inne funkcje jako argument i zwracać liczbę jako wynik nazywane są funkcjonałami (np. funkcjonał ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{\mathbb {R} }\to \mathbb {\overline {\mathbb {R} }} }$ zwracający pole pod wykresem funkcji).

Przykład

${\displaystyle f:\mathbb {N} ^{\mathbb {Z} }\to \mathbb {\mathbb {R} } ,f(x)={\sqrt {x(-1)}}}$, gdzie ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{\mathbb {N} }}$ to zbiór wszystkich funkcji ${\displaystyle x:\mathbb {Z} \to \mathbb {N} }$ tj. działających z liczb całkowitych ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ w liczby naturalne ${\displaystyle \mathbb {N} }$. Tutaj ${\displaystyle x}$ nie oznacza liczby tylko funkcję, a ${\displaystyle x(-1)}$ to wartość tej funkcji dla minus jedynki. Funkcja ${\displaystyle f(x)}$ zwraca więc pierwiastek z pewnej liczby naturalnej która jest wartością funkcji ${\displaystyle x}$ w minus jeden. Z definicji formalnej zapisujemy ${\displaystyle f=(\mathbb {N} ^{\mathbb {Z} },\mathbb {\mathbb {R} } ,\{(x,{\sqrt {x(-1)}}):x\in \mathbb {Z} ^{\mathbb {N} }\})}$. Funkcja której argumentem są inne funkcje a wartościami liczby (zamienia/mapuje/transformuje funkcje na liczby) to funkcjonał.

Funkcje które jako argument przyjmują pewne funkcje i zwracają inne funkcje nazywamy operatorami - operatory transformują/zmieniają daną funkcję (lub kilka funkcji) na inną i często do ich zapisu stosujemy indywidualna odrębną notację (np. transformata Fouriera ${\displaystyle {\hat {f}}}$, operator składania funkcji ${\displaystyle f\circ g}$, operator Nabla dla gradientu ${\displaystyle \nabla f}$ itp.)

Szczegółowe omówienie wybranych przykładów w świetle formalnej definicji

${\displaystyle f:\mathbb {Z} ^{\mathbb {N} }\to \mathbb {\mathbb {R} } ^{\mathbb {N} },f(x)=\pi x^{2}}$, tutaj funkcja f jako argument bierze pewną funkcję ${\displaystyle x:\mathbb {N} \to \mathbb {Z} }$ a jako wynik zwraca inną funkcję ${\displaystyle y:\mathbb {N} \to \mathbb {R} }$. Funkcje których argumentami są pewne funkcje a wynikiem inne funkcje (czyli zamieniają/transofmują jedne funkcje na inne funkcje) nazywamy operatorami. Poszczególne operatory mogą posiadać indywidualną niezależną notację (i nierzadko nazewnictwo oraz być centralnym elementem teorii matematycznych) np. dywergencja ${\displaystyle div(.),\nabla \cdot }$, transformata Fouriera ${\displaystyle {\hat {f}}}$ etc. Szczegóły przykładu ${\displaystyle }$ Wartość funkcji ${\displaystyle y}$, z przykładu, w każdym punkcie równa jest kwadratowi wartości funkcji ${\displaystyle x}$ w owym punkcie wymnożonym przez ${\displaystyle \pi }$ tj. ${\displaystyle y(t)=\pi (x(t))^{2},t\in \mathbb {N} }$. Z definicji formalnej mamy: ${\displaystyle f=(\mathbb {Z} ^{\mathbb {N} },\mathbb {R} ^{\mathbb {N} },\{(x,\pi x^{2}):x\in \mathbb {Z} ^{\mathbb {N} }\})}$. Ponieważ funkcja ${\displaystyle x}$ ma taką samą dziedzinę jak funkcja ${\displaystyle y}$ oraz ${\displaystyle t}$ w formule na y jest użyte tylko w ${\displaystyle x(t)}$ to możemy operować na nich podobnie jak na zmiennych liczbowych (np. pisząc skrótowo ${\displaystyle y=\pi x^{2}}$ zamiast ${\displaystyle y(t)=\pi x(t)^{2}}$ co skraca notację). ${\displaystyle f:\mathbb {N} ^{\mathbb {Z} }\to \mathbb {\mathbb {R} } ^{\mathbb {Q} },f(x)=y,y(t)=\pi t+2x(\lfloor t\rfloor ),t\in \mathbb {Q} }$ (gdzie ${\displaystyle \lfloor t\rfloor }$ oznacza podłogę, ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ to liczby wymierne) funkcja (operator) ${\displaystyle f}$ zmienia funkcję ${\displaystyle x:\mathbb {Z} \to \mathbb {N} }$ w funkcję ${\displaystyle y:\mathbb {Q} \to \mathbb {R} }$. Bardziej formalnie (z definicji) ${\displaystyle f=(\mathbb {N} ^{\mathbb {Z} },\mathbb {\mathbb {R} } ^{\mathbb {Q} },\{(x,(\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\{(t,\pi t+2x(\lfloor t\rfloor )):t\in \mathbb {Q} \})):x\in \mathbb {N} ^{\mathbb {Z} }\})}$. Przykładowe użycie operatora ${\displaystyle f}$ dla funkcji ${\displaystyle x(s)=3s^{2}+5,s\in \mathbb {Z} }$ czyli zapis ${\displaystyle f(x)=y}$ da w wyniku funkcję ${\displaystyle y(t)=\pi t+2(3\lfloor t\rfloor ^{2}+5)=\pi t+6\lfloor t\rfloor ^{2}+10}$. ${\displaystyle \circ :Z^{Y}\times Y^{X}\to Z^{X},\circ (f,g)(x)=f(g(x))}$ ta funkcja jest operatorem składania dwóch funkcji ${\displaystyle f:Y\to Z}$ oraz ${\displaystyle g:X\to Y}$ który jako wnik zwraca funkcję ${\displaystyle h:X\to Z,h(x)=f(g(x))}$. Dla tego operatora stosujemy notację taką jak dla działań arytmetycznych tj. ${\displaystyle f\circ g}$. Formalnie ${\displaystyle \circ =(Z^{Y}\times Y^{X},Z^{X},\{((f,g),h):f\in Z^{Y},g\in Y^{X},h\in Z^{X},h(x)=f(g(x)),x\in X\})}$

• funkcja rosnąca;
• funkcja malejąca;
• funkcja nierosnąca;
• funkcja niemalejąca;
• funkcja monotoniczna – funkcja rosnąca lub funkcja malejąca, lub funkcja nierosnąca, lub funkcja niemalejąca;
• funkcje ograniczone – funkcja, której zbiór wartości jest ograniczony;
• funkcja parzysta – wykres funkcji parzystej jest symetryczny względem osi rzędnych;
• funkcja nieparzysta – wykres funkcji nieparzystej jest symetryczny względem początku układu współrzędnych;
• funkcja okresowa;
• funkcja ciągła;
• funkcja różniczkowalna – funkcja, dla której istnieje pochodna w każdym punkcie jej dziedziny.

• ${\displaystyle y=ax+b}$ – funkcja liniowa
• ${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}$ – funkcja kwadratowa
• ${\displaystyle y=a_{0}+a_{1}x+\ldots +a_{n}x^{n}}$ – funkcja wielomianowa
• ${\displaystyle y=1+{\sqrt {\ln {\sin {2\pi x}}}}}$
• ${\displaystyle P_{n}(x)={\frac {1}{2^{n}n!}}{\frac {d^{n}(x^{2}-1)^{n}}{dx^{n}}}}$
• ${\displaystyle I(\alpha ,\beta )=\int _{0}^{+\infty }e^{-\alpha x}{\frac {\sin \beta x}{x}}dx}$
• ${\displaystyle \sigma (z)=\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{z}}}}$
• ${\displaystyle y-f(x)=0}$ – funkcja jawna zapisana jako uwikłana
• ${\displaystyle x^{2}+y^{2}-1=0}$ – funkcja uwikłana (równanie okręgu)

• analiza matematyczna - są głównym przedmiotem badań;
• pozwoliły zdefiniować jedno z podstawowych pojęć kombinatoryki i teorii mnogości: moc zbioru^[23].
• pojawiają się w logice matematycznej w postaci funkcji zdaniowych (predykatów) i innych funktorów;
• stały się jednym z fundamentów informatyki, gdzie nazywa się tak odmianę procedury; powstałe całe metody programowania oparte na tym pojęciu jak programowanie funkcyjne;.

Definicję funkcji spełniają na przykład:

• działania arytmetyczne: dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie. Można je traktować jako funkcje liczbowe dwóch lub większej liczby zmiennych.
• Jednoargumentowe działania na liczbach: zaokrąglanie, podłoga i sufit oraz część ułamkowa, wartość bezwzględna, liczba przeciwna (przykład funkcji liniowej), liczba odwrotna (przykład funkcji wymiernej),
• średnie: arytmetyczna, geometryczna i inne. To funkcje dwóch lub dowolnej liczby zmiennych. Można je traktować jako funkcje na ciągach lub multizbiorach liczb.
• inne funkcje statystyczne, np. mediana, moda, minimum i maksimum,
• funkcje teorioliczbowe: największy wspólny dzielnik i najmniejsza wspólna wielokrotność dwóch lub więcej liczb całkowitych,
• przekształcenia geometryczne: odbicie względem prostej lub punktu i inne symetrie, obrót względem punktu lub osi, jednokładność, dylatacja, inwersja i wiele innych,
• odległość między punktami (w ogólności metryka), długość wektora (w ogólności norma),
• Średnica zbioru – funkcja ze zbioru potęgowego dowolnej przestrzeni metrycznej,
• długość linii (łamanej lub ogólnie krzywej), w szczególności obwód dla krzywych zamkniętych,
• pole powierzchni, objętość, prawdopodobieństwo i inne przykłady miary.
• działania na zdaniach lub formułach: negacja, implikacja, alternatywa, alternatywa rozłączna, koniunkcja, dysjunkcja, równoważność,
• same formuły zdaniowe: przyporządkowanie termom zdania,
• wartość logiczna,
• działania na zbiorach,
• działania na ciągach skończonych, jak permutacja (np. inwersja) oraz konkatenacja,
• układ współrzędnych to funkcja z przestrzeni geometrycznej (zwłaszcza rozmaitości) w przestrzeń kartezjańską.

Wszystkie wielkości fizyczne rozpatruje się jako funkcje innych zmiennych:

• Jednostki fizyczne są często funkcjami liniowymi innych jednostek, np. temperatura w skali Fahrenehita jest liniową funkcją tej Celsjusza.
• Czasami jednostki są logarytmicznymi funkcjami innych jednostek, np. poziom natężenia dźwięku, wysokość dźwięku, jasność absolutna,
• W statyce: przyporządkowanie każdemu ciału fizycznemu jego masy oraz środka masy. Zgodnie z prawem Hooke’a siła nacisku lub naciągu jest proporcjonalna do odkształcenia ciała (dla odpowiednio małych wartości tych parametrów). To funkcje liniowe siebie nawzajem. Ich zależność opisują współczynnik sprężystości, moduł Younga i inne. Tarcie jest liniową funkcją siły nacisku.
• W kinematyce: ruch ciał fizycznych opisywany jest przez wektor położenia lub przemieszczenia ${\displaystyle {\vec {r}}}$ oraz skalary odległości lub drogi s. Wszystkie są funkcjami czasu. Ta pierwsza to tzw. trajektoria lub linia świata. Na ich podstawie są oparte inne funkcje czasu: prędkość i przyspieszenie.
• W dynamice: pęd jest funkcją dwóch zmiennych: masy i prędkości, przy czym obydwie mogą być funkcjami czasu. Siła okazuje się pochodną pędu po czasie (II zasada dynamiki). Praca jest funkcją siły i przesunięcia ciała, a energia może być zależna od różnych wielkości. Energia kinetyczna ruchu ciała jest zależna od masy ciała i jego prędkości; energia potencjalna grawitacji jest (w przypadku grawitacji ziemskiej) zależna od masy ciała i jego odległości h od powierzchni Ziemi; przyrost energii cieplnej cieczy jest funkcją masy cieczy i przyrostu jej temperatury T
• W bardziej zaawansowanej mechanice definiuje się też inne wielkości dynamiczne: lagranżjan, działanie i hamiltonian, które też są funkcjami mas, położeń i prędkości.
• Liczne pola fizyczne: funkcje z przestrzeni lub czasoprzestrzeni w zbiór skalarów, wektorów, tensorów itp.
• prąd jest funkcją napięcia – w prostych wypadkach opisywaną przez prawo Ohma.
• W termodynamice: objętość ciał oraz ich gęstość jest funkcją temperatury – rozszerzalność cieplna
• W mechanice kwantowej wektor stanu bywa funkcją, a konkretniej zespolonym polem skalarnym – tzw. funkcja falowa.
• Tensory: formy wieloliniowe, czyli funkcje wielu wektorów i kowektorów. Są używane w statyce (wytrzymałość materiałów), w optyce (dwójłomność) oraz w ogólnej teorii względności Einsteina.

Funkcja może wyrażać własność pewnego obiektu, dlatego obejmuje bardzo wiele pojęć z nauk empirycznych. Jako funkcję można też traktować każdą relację równoważności zachodzącą między dokładnie dwoma obiektami – jest to tzw. inwolucja.

Astronomia:

• położenie ciał niebieskich na niebie (współrzędne astronomiczne) jest funkcją czasu oraz współrzędnych geograficznych,
• okres obiegu planety wokół Słońca jest malejącą funkcją promienia jej orbity, zgodnie z III prawem Keplera,
• jasność obserwowana gwiazdy jest funkcją jej jasności absolutnej i odległości od obserwatora,
• krzywa rotacji galaktyki – prędkość gwiazdy względem galaktyki jest funkcją odległości od jej środka,
• przesunięcie ku czerwieni widm odległych galaktyk jest funkcją ich odległości od Ziemi – zgodnie z prawem Hubble’a,
• Diagram HR opisuje moc promieniowania i temperaturę gwiazdy w funkcji czasu.

Chemia:

• Przykładowo liczba atomowa, blok, grupa i okres w UOP albo liczba elektronów walencyjnych to funkcje na zbiorze pierwiastków chemicznych. Ta pierwsza jest różnowartościowa, a pozostałe – nie.
• liczba masowa i liczba neutronowa to funkcje na zbiorze nuklidów (wszystkie izotopy wszystkich pierwiastków),
• masa cząsteczkowa – funkcja na zbiorze molekuł albo związków,
• jądro lustrzane – bijekcja w zbiorze nuklidów,
• odbicie lustrzane – bijekcja w zbiorze cząsteczek chiralnych,
• własności makroskopowe subtancji jak temperatura wrzenia, temperatura topnienia itp.,
• skala pH jest logarytmiczną funkcją altywności jonów hydroniowych.

Biologia:

• Przykładem nieliczbowej funkcji jest kod genetyczny. Zgodnie z zasadą szufladkową Dirichleta nie może być funkcją różnowartościową, czyli innymi słowy jest zdegenerowany.
• mutacje genowe – zmiana sekwencji nukleotydów, np. substytucja, delecja, insercja,
• komplementarny nukleotyd lub cała nić DNA,
• krzywa wzrostu i inne parametry populacji.

Medycyna i fizjologia:

• BMI – funkcja dwóch zmiennych: wzrostu i wagi
• EKG i EEG – funkcje napięcia między elektrodami od czasu,

Geografia fizyczna, geodezja i inne nauki o Ziemi:

• wysokość bezwzględna, temperatura, ciśnienie atmosferyczne, a dla zbiorków wodnych zasolenie – funkcje współrzędnych geograficznych. To przykłady funkcji wielu zmiennych – konkretniej pól skalarnych.
• Temperatura i ciśnienie są też funkcją współrzędnych geograficznych i wysokości bezwzględnej,
• średnia temperatura atmosfery ziemskiej jest od XX w. funkcją rosnącą – globalne ocieplenie.

Geografia społeczna, demografia i socjologia:

• piramida wieku danemu wiekowi lub przedziałowi wieku przyporządkowuje odsetek osób w tym wieku. Dla społeczeństw młodych jest to funkcja malejąca. Niże i echa niżów demograficznych to lokalne minima tej funkcji.
• opinia publiczna, np. procentowe poparcie dla danej opcji politycznej albo decyzji jest funkcją czasu, a także wieku, płci i regionu.

Ekonomia:

• funkcje podaży i popytu,
• cena, np. kurs walutowy,
• rozmaite parametry gospodarki: PKB, inflacja, dług publiczny, HDI itd. Można je traktować jako funkcje na zbiorze państw, a dla danego państwa: funkcje od czasu.
• Liczne krzywe ekonomiczne, np. Laffera i Phillipsa

Psychologia:

• wyniki testów IQ są rosnącą funkcją czasu – efekt Flynna,
• funkcja komfortu psychicznego obserwatora od podobieństwa androida do człowieka ma lokalne minimum – to tzw. dolina niesamowitości,
• wiele wyników testów psychometrycznych w populacji, np. IQ i EQ jest opisanych funkcją rozkładu normalnego.

Mając dwie funkcje ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ i ${\displaystyle g\colon Y\to Z,}$ można utworzyć funkcję złożoną ${\displaystyle (g\circ f)\colon X\to Z}$ określoną wzorem ${\displaystyle (g\circ f)(x)=g{\Big (}f(x){\Big )}.}$

Wielokrotne złożenie funkcji ${\displaystyle f\colon X\to X}$ nosi nazwę iteracji. Ściśle: ${\displaystyle n}$-tą iteracją funkcji ${\displaystyle f}$ nazywa się funkcję

${\displaystyle f^{n}={\begin{matrix}\underbrace {f\circ f\circ \ldots \circ f} \\{n}\\[-4ex]\end{matrix}}.}$

Dla każdej funkcji wzajemnie jednoznacznej można określić funkcję ${\displaystyle f^{-1}\colon Y\to X}$ taką, że ${\displaystyle (f\circ f^{-1})(x)=x,}$ którą nazywa się wówczas funkcją odwrotną.

Dla funkcji ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ można określić jej zawężenie, nazywane też obcięciem lub ograniczeniem, do zbioru ${\displaystyle M\subseteq X.}$ Jest to funkcja ${\displaystyle f|_{M}\colon M\to Y}$ taka, że ${\displaystyle f|_{M}(x)=f(x)}$ dla każdego ${\displaystyle x\in M.}$ Nazywa się ją też funkcją częściową dla funkcji f^[24].

Jeżeli ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ jest funkcją, a ${\displaystyle f|_{M}\colon M\to Y}$ jest jej zawężeniem do zbioru ${\displaystyle M\subset X,}$ to dla dowolnego zbioru ${\displaystyle B\subset Y}$ mamy ${\displaystyle \left(f|_{M}\right)^{-1}(B)=M\cap f^{-1}(B).}$

Z drugiej strony, dla ${\displaystyle M\subset X,}$ można przedłużyć funkcję ${\displaystyle f\colon M\to Y}$ zachowawszy często pewną regułę, otrzymując w ten sposób funkcję ${\displaystyle g\colon X\to Y.}$ Można np. wymagać, by przedłużenie ${\displaystyle g}$ funkcji ${\displaystyle f}$ było ciągłe, różniczkowalne lub okresowe.

Definicja ${\displaystyle f=(X,Y,W)}$ Bourbakiego^[7][8], ze względu na prostotę, pełność i ogólność spełnia wymogi współczesnej matematyki^[25]. W literaturze definicja może różnić się kolejnością elementów np. ${\displaystyle f=(W,X,Y)}$ albo ${\displaystyle f=(X,W,Y)}$. Spotyka się również wariant tej definicji w której używa się klas zamiast zbiorów^[9].

Jeżeli zakładamy że funkcja jest surjekcją lub jeśli jest wygodne nie ustalanie przeciwdziedziny, wówczas można skorzystać z definicji Peano redukującej funkcję tylko do wykresu funkcji (wykresu z definicji Bourbakiego) tj. ${\displaystyle f=W}$ (a więc do pewnego zbioru par). Tak zredukowana definicja jest bardziej pierwotna i została sformalizowana wcześniej. Często w literaturze zaznacza się (z przyczyn głównie historycznych związanych z orginalnym sformułowaniem Peano), że taka zredukowana definicja (wykres) jest pewną relacją binarną. Relacja ${\displaystyle R}$ jest funkcją, jeśli spełnia dwa warunki, poniżej zapisane za pomocą kwantyfikatorów^[2]:

1. jednoznaczność^[26]: ${\displaystyle \forall x\in X,y_{1},y_{2}\in Y:[xRy_{1}\wedge xRy_{2}\Rightarrow (y_{1}=y_{2})],}$
2. ${\displaystyle \forall x\in X\ \exists y\in Y:xRy.}$

Przez to funkcje rozumiane szeroko są też znane jako relacje jednoznaczne^[27]. Teoria mnogości definiuje relacje za pomocą iloczynu kartezjańskiego zbiorów, czyli zbioru par uporządkowanych: ${\displaystyle R\subseteq X\times Y.}$

Należy zauważyć że między definicją Bourbakiego ${\displaystyle f=(X,Y,W)}$ a definicją Peano ${\displaystyle f=W}$ istnieją poważne różnice^[28]. Obydwie jednak, są powszechnie używane w literaturze^[25].