Relacja symetryczna

Relacja symetryczna^[1] – relacja dwuargumentowa (dwuczłonowa), która jest równa relacji do siebie odwrotnej.

Formalnie relację dwuczłonową ${\displaystyle \rho \subseteq X\times X}$ nazywa się symetryczną, gdy^[2]:

${\displaystyle (x,y)\in \rho \implies (y,x)\in \rho }$ dla każdych ${\displaystyle x,y\in X.}$

W powyższej definicji można też zamienić implikację ${\displaystyle \implies }$ na równoważność ${\displaystyle \Longleftrightarrow .}$

Relację dwuczłonową ${\displaystyle \rho \subseteq X\times X}$ nazywa się przeciwsymetryczną lub asymetryczną, gdy warunki ${\displaystyle (x,y)\in \rho }$ oraz ${\displaystyle (y,x)\in \rho }$ wykluczają się nawzajem dla każdych dwóch elementów ${\displaystyle x,y\in X.}$ Inaczej jest to taka relacja, że^[2]

${\displaystyle (x,y)\in \rho \implies (y,x)\notin \rho }$ dla każdych ${\displaystyle x,y\in X.}$

Relację dwuczłonową ${\displaystyle \rho \subseteq X\times X}$ nazywa się antysymetryczną lub nawpółprzeciw symetryczną, gdy dla każdych dwóch elementów ${\displaystyle x,y\in X}$ z koniunkcji warunków ${\displaystyle (x,y)\in \rho }$ i ${\displaystyle (y,x)\in \rho }$ wynika równość ${\displaystyle x=y.}$ Inaczej jest to taka relacja, że^[2]

${\displaystyle \left((x,y)\in \rho \land (y,x)\in \rho \right)\implies x=y}$ dla każdych ${\displaystyle x,y\in X.}$

Relacje symetryczne w matematyce:

• każda relacja równoważności, np. równość elementów zbioru,
• relacje między prostymi, półprostymi i odcinkami: równoległość, przecinanie się, prostopadłość,
• relacje między kątami: kąty przyległe, kąty dopełniające się, kąty wierzchołkowe, kąty naprzemianległe,
• relacje między okręgami: rozłączność (w szczególności współśrodkowość, in. koncentryczność), styczność (dwóch rodzajów) albo przecinanie (także dwóch rodzajów),
• relacje między figurami: przystawanie, podobieństwo,
• relacje między zbiorami: rozłączność, przecinanie się i równoliczność;
• relacja między grupami i innymi strukturami algebraicznymi: izomorfizm,
• relacja między przestrzeniami topologicznymi: homeomorfizm,
• relacja między krzywymi: homotopia,
• relacja między liczbami całkowitymi: przystawanie (kongruencja), względna pierwszość,
• relacja między funkcjami w danym zbiorze (działaniami jednoargumentowymi): przemienność (komutacja). Macierze kwadratowe są reprezentacjami endomorfizmów, więc też mogą komutować lub nie,
• relacje między ciągami i funkcjami o wartościach rzeczywistych: bycie dokładnie tego samego rzędu, asymptotyczna równość (posiadanie tej samej granicy w nieskończoności).

Przykłady spoza matematyki:

• relacje w zbiorze nuklidów: izotopy, izobary, izotony, bycie jądrami lustrzanymi,
• izomeria molekuł,
• komplementarność nici kwasów nukleinowych (DNA i RNA),
• bycie rodzeństwem lub szerzej: krewnymi,
• bycie małżeństwem lub szerzej: spowinowaczonymi,
• konkurencja ekologiczna i ekonomiczna,
• symbioza,
• bycie miastami partnerskimi,
• stosunki dyplomatyczne.

Relacje, które nie są ani symetryczne, ani przeciwsymetryczne, ani antysymetryczne:

• bycie bratem – nie jest symetryczna dla rodzeństwa różnej płci, ale może być symetryczna dla dwóch braci. Jednocześnie symetria może zachodzić dla dwóch różnych osób.

• relacja zwrotna
• relacja przechodnia
• relacja równoważności