Całka Jacksona

Całka Jacksona – szereg wyrażający operację odwrotną do ${\displaystyle q}$-różniczkowania.

Niech ${\displaystyle f(x)}$ będzie funkcją zmiennej rzeczywistej ${\displaystyle x.}$ Całkę Jacksona funkcji ${\displaystyle f}$ definiuje się jako następujące rozwinięcie szeregu:

${\displaystyle \int f(x)\operatorname {d} _{q}x=(1-q)x\sum _{k=0}^{\infty }q^{k}f(q^{k}x).}$

Ogólniej, jeżeli ${\displaystyle g(x)}$ jest inną funkcją, a ${\displaystyle \operatorname {D} _{q}g}$ oznacza jej ${\displaystyle q}$-pochodną, to można formalnie zapisać

${\displaystyle \int f(x)\operatorname {D} _{q}g\operatorname {d} _{q}x=(1-q)x\sum _{k=0}^{\infty }q^{k}f(q^{k}x)\operatorname {D} _{q}g(q^{k}x)=(1-q)x\sum _{k=0}^{\infty }q^{k}f(q^{k}x){\frac {g(q^{k}x)-g(q^{k+1}x)}{(1-q)q^{k}x}}}$

lub

${\displaystyle \int f(x)\operatorname {d} _{q}g(x)=\sum _{k=0}^{\infty }f(q^{k}x)(g(q^{k}x)-g(q^{k+1}x)),}$

co daje ${\displaystyle q}$-analog całki Riemanna-Stieltjesa.

Tak jak zwykła pierwotna funkcji ciągłej może być wyrażona za pomocą jej całki Riemanna, tak możliwe jest wykazanie, że całka Jacksona jednoznacznie wyznacza ${\displaystyle q}$-pierwotną w pewnej klasie funkcji.

• Victor Kac, Pokman Cheung, Quantum Calculus (analiza kwantowa), Universitext, Springer-Verlag, 2002. ISBN 0-387-95341-8.