Funkcja pierwotna

Jeśli funkcje ${\displaystyle f}$ i ${\displaystyle g}$ są określone w pewnym przedziale i mają tam ciągłe pochodne, to:

${\displaystyle \int f'(x)g(x)dx=f(x)g(x)-\int f(x)g'(x)dx.}$

Jeśli funkcja rzeczywista ${\displaystyle f}$ jest ciągła w przedziale ${\displaystyle X,}$ a funkcja ${\displaystyle g}$ ma ciągłą pochodną w przedziale ${\displaystyle T}$ i jest różnowartościowym odwzorowaniem ${\displaystyle T}$ na ${\displaystyle X,}$ to:

${\displaystyle \int f(x)\;\operatorname {d} x=F(x)+C}$ wtedy i tylko wtedy, gdy

${\displaystyle \int f{\big (}g(t){\big )}g'(t)\;\operatorname {d} t=F(g(t))+C.}$

Dlatego znając drugą całkę można porachować pierwszą, podstawiając ${\displaystyle g^{-1}(x)}$ zamiast ${\displaystyle t.}$ Jeszcze łatwiej znając pierwszą całkę porachować drugą, podstawiając ${\displaystyle g(t)}$ zamiast ${\displaystyle x.}$

Stosując metodę podstawienia, można udowodnić następującą regułę, stosowanie której często upraszcza całkowanie:

jeżeli ${\displaystyle \int f(x)dx=F(x)+C,}$ to ${\displaystyle \int f(ax+b)dx={\frac {1}{a}}F(ax+b)+C.}$

Każdą funkcję wymierną można rozłożyć na sumę funkcji wielomianowej i skończonej liczby ułamków, każdy z których jest albo postaci

${\displaystyle {\frac {A}{(x-a)^{n}}},}$

albo postaci

${\displaystyle {\frac {Bx+C}{(x^{2}+px+q)^{n}}},}$ gdzie ${\displaystyle p^{2}-4q<0}$

(${\displaystyle n}$ to liczba naturalna w obu przypadkach).

Ułamki pierwszego typu łatwo przecałkować stosując informacje z powyższych sekcji.

Do ułamków drugiego typu stosuje się przekształcenie:

${\displaystyle \int {\frac {Bx+C}{(x^{2}+px+q)^{n}}}dx={\frac {B}{2}}\int {\frac {2x+p}{(x^{2}+px+q)^{n}}}dx+\left(C-{\frac {Bp}{2}}\right)\int {\frac {1}{(x^{2}+px+q)^{n}}}dx.}$

W pierwszym składniku tej sumy stosuje się podstawienie ${\displaystyle y=x^{2}+px+q.}$

W drugim składniku stosowany jest wzór rekurencyjny:

${\displaystyle \int {\frac {1}{(T(x))^{n}}}dx={\begin{cases}{\frac {2}{\sqrt {-\Delta }}}\operatorname {arctg} {\frac {2x+p}{\sqrt {-\Delta }}}&{\mbox{ dla }}n=1,\\{\frac {1}{(1-n)\Delta }}\left({\frac {2x+p}{(T(x))^{n-1}}}+(4n-6)\int {\frac {1}{(T(x))^{n-1}}}dx\right)&{\mbox{ dla }}n>1,\end{cases}}}$

gdzie:

${\displaystyle T(x)=x^{2}+px+q,}$

${\displaystyle \Delta =p^{2}-4q.}$

Całka z funkcji wymiernej to całka postaci

${\displaystyle \int {{\frac {L(x)}{M(x)}}dx}{:}}$

gdzie ${\displaystyle L(x)}$ oraz ${\displaystyle M(x)}$ są wielomianami

Rozpatrzmy trzy przypadki

1.

${\displaystyle \deg L(x)\geqslant \deg M(x)}$

Niech ${\displaystyle L(x)=W(x)M(x)+R(x)}$

${\displaystyle \int {{\frac {L(x)}{M(x)}}dx}=\int {{\frac {W(x)M(x)+R(x)}{M(x)}}dx}}$

${\displaystyle \int {{\frac {L(x)}{M(x)}}dx}=\int {W(x)dx}+\int {{\frac {R(x)}{M(x)}}dx}}$

Jeśli mamy stopień licznika większy lub równy stopniowi mianownika dzielimy licznik przez mianownik

2.

${\displaystyle \gcd(M(x),M'(x))\neq const}$

${\displaystyle \int {{\frac {R(x)}{M(x)}}dx}={\frac {R_{1}(x)}{M_{1}(x)}}+\int {{\frac {R_{2}(x)}{M_{2}(x)}}dx}}$

${\displaystyle M_{1}(x)=\gcd(M(x),M'(x))}$

${\displaystyle M(x)=M_{1}(x)M_{2}(x)}$

Mianownik ${\displaystyle M_{2}(x)}$ posiada te same pierwiastki co mianownik ${\displaystyle M(x),}$ tyle że pojedyncze, a krotność pierwiastków mianownika ${\displaystyle M_{1}(x)}$ jest o jeden mniejsza niż krotność pierwiastków mianownika ${\displaystyle M(x)}$

${\displaystyle \deg R_{1}(x)<\deg M_{1}(x)}$

${\displaystyle \deg R_{2}(x)<\deg M_{2}(x)}$

Za współczynniki wielomianów w licznikach przyjmujemy współczynniki literowe i różniczkujemy równość

${\displaystyle \int {{\frac {R(x)}{M(x)}}dx}={\frac {R_{1}(x)}{M_{1}(x)}}+\int {{\frac {R_{2}(x)}{M_{2}(x)}}dx}}$ aby je obliczyć

3.

${\displaystyle \gcd(M_{2}(x),M'_{2}(x))=const}$

Niech ${\displaystyle M_{2}(x)=(x-a_{1})(x-a_{2})\ldots (x-a_{k})(x^{2}+p_{1}x+q_{1})(x^{2}+p_{2}x+q_{2})\ldots (x^{2}+p_{m}x+q_{m})}$

${\displaystyle \int {{\frac {R_{2}(x)}{M_{2}(x)}}dx}=\int {{\frac {A_{1}}{x-a_{1}}}dx}+\int {{\frac {A_{2}}{x-a_{2}}}dx}+\ldots +\int {{\frac {A_{k}}{x-a_{k}}}dx}+\int {{\frac {B_{1}x+C_{1}}{x^{2}+p_{1}x+q_{1}}}dx}+\int {{\frac {B_{2}x+C_{2}}{x^{2}+p_{2}x+q_{2}}}dx}+\ldots +\int {{\frac {B_{m}x+C_{m}}{x^{2}+p_{m}x+q_{m}}}dx}+}$

Każdą całkę funkcji postaci ${\displaystyle R(\sin x,\ \cos x),}$ gdzie ${\displaystyle R}$ jest funkcją wymierną, można obliczyć przez podstawienie^[2]:

${\displaystyle t=\operatorname {tg} \;{\tfrac {x}{2}}.}$

Wówczas

${\displaystyle \operatorname {d} x={\tfrac {2\operatorname {d} t}{1+t^{2}}},}$

${\displaystyle \sin x={\tfrac {2t}{1+t^{2}}},}$

${\displaystyle \cos x={\tfrac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},}$

${\displaystyle \operatorname {tg} \;x={\tfrac {2t}{1-t^{2}}},}$

${\displaystyle \operatorname {ctg} \;x={\tfrac {1-t^{2}}{2t}},}$

${\displaystyle \sec x={\tfrac {1+t^{2}}{1-t^{2}}},}$

${\displaystyle \csc x={\tfrac {1+t^{2}}{2t}}.}$

Funkcje postaci

${\displaystyle R\left({\sqrt[{n}]{\frac {ax+b}{cx+d}}}\right),}$

gdzie ${\displaystyle ad-bc\neq 0,}$ daje się sprowadzić do funkcji wymiernych przez podstawienie

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{\frac {ax+b}{cx+d}}}=t,}$

skąd

${\displaystyle x={\frac {dt^{n}-b}{a-ct^{n}}}.}$

Dla funkcji postaci

${\displaystyle R(x,\ {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}),}$

gdzie ${\displaystyle a>0,\ \Delta =b^{2}-4ac\neq 0,}$ stosuje się tzw. pierwsze podstawienie Eulera

${\displaystyle {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}=(t-x){\sqrt {a}},}$

skąd

${\displaystyle x={\frac {at^{2}-c}{2at+b}}.}$

Natomiast w przypadku

${\displaystyle a<0,\ \Delta =b^{2}-4ac>0}$

stosowane jest drugie podstawienie Eulera

${\displaystyle {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}=\left(x+{\frac {b}{2x}}\right)t-{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\Delta }{-a}}},}$

skąd

${\displaystyle x={\frac {t}{t^{2}-a}}{\sqrt {\frac {\Delta }{-a}}}-{\frac {b}{2a}}.}$