Ciąg zbiorów

Ciąg zbiorów – ciąg, którego elementami są zbiory; dokładniej: podzbiory pewnej przestrzeni. Podobnie jak dla ciągów liczbowych możliwe jest określenie granic dolnej i górnej, a przez to zbieżności.

Jeżeli każdy kolejny element ciągu zawiera się w poprzednim, ciąg nazywa się zstępującym lub nierosnącym; jeżeli każdy kolejny element ciągu zawiera poprzedni, ciąg nazywa się wstępującym bądź niemalejącym; ciąg, który jest zstępujący lub wstępujący (nierosnący lub niemalejący) nazywa się monotonicznym (por. warunki nakładane na łańcuchy, tutaj: podzbiorów).

Niech dany będzie ciąg podzbiorów ${\displaystyle (A_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ustalonego zbioru ${\displaystyle X}$ nazywanego dalej przestrzenią. Zbiory dane wzorami

${\displaystyle \liminf _{n\in \mathbb {N} }A_{n}=\bigcup _{m\in \mathbb {N} }\;\bigcap _{n>m}\;A_{n}\quad {\text{ oraz }}\quad \limsup _{n\in \mathbb {N} }A_{n}=\bigcap _{m\in \mathbb {N} }\;\bigcup _{n>m}\;A_{n}}$

nazywa się odpowiednio granicą dolną i granicą górną ciągu ${\displaystyle (A_{n})_{n};}$ jeżeli

${\displaystyle \liminf _{n\in \mathbb {N} }A_{n}=\limsup _{n\in \mathbb {N} }A_{n},}$

to ciąg ${\displaystyle (A_{n})_{n}}$ nazywa się zbieżnym, a zbiór wyznaczony przez tę równość nazywa się granicą tego ciągu i zapisuje ${\displaystyle \lim _{n\in \mathbb {N} }A_{n}.}$

Zamiast napisu ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ (liczby naturalne bez zera) pod symbolami granic stosuje się również ${\displaystyle n\to \infty$ ;} niżej, dla przejrzystości, oznaczenia ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ będą pomijane, o ile nie doprowadzi to do nieporozumień.

Dla dowolnego ciągu ${\displaystyle (A_{n})}$ następujące warunki są równoważne:

• ciąg ${\displaystyle A_{n}}$ jest zbieżny do ${\displaystyle A,}$

  ${\displaystyle \lim A_{n}=A;}$

• ciąg różnic symetrycznych ${\displaystyle A_{n}}$ oraz ${\displaystyle A}$ jest zbieżny do zbioru pustego ${\displaystyle \varnothing ,}$

  ${\displaystyle \lim \left(A_{n}\triangle A\right)=\varnothing$ ;}

• ciąg funkcji charakterystycznych zbiorów ${\displaystyle A_{n}}$ jest zbieżny punktowo na całej przestrzeni ${\displaystyle X}$ do funkcji charakterystycznej zbioru ${\displaystyle A,}$

  ${\displaystyle \lim \chi _{A_{n}}(x)=\chi _{A}(x)\quad \mathrm {\ dla\ ka{\dot {z}}dego\ } x\in X.}$

Dodatkowo dla ${\displaystyle I}$ przebiegającego wszystkie nieskończone podzbiory liczb naturalnych zachodzi

${\displaystyle \limsup A_{n}=\bigcap _{I}\;\bigcup _{i\in I}\;A_{i},}$

z kolei dla ${\displaystyle I}$ przebiegającego wszystkie podzbiory liczb naturalnych o dopełnieniu skończonym jest

${\displaystyle \liminf A_{n}=\bigcup _{I}\;\bigcap _{i\in I}\;A_{i},}$

a ponadto

${\displaystyle \liminf A_{n}\subseteq \limsup A_{n},}$

a więc sprawdzając zbieżność, wygodnie jest niekiedy ograniczyć się do badania ${\displaystyle \liminf A_{n}.}$

Element ${\displaystyle x\in \limsup A_{n}}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle x\in A_{n}}$ dla nieskończenie wielu wartości ${\displaystyle n}$^[a]; z kolei ${\displaystyle x\in \liminf A_{n}}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle x\in A_{n}}$ dla wszystkich poza skończenie wieloma wartościami ${\displaystyle n}$^[b]; innymi słowy

${\displaystyle \liminf A_{n}=\left\{\sum \chi _{A_{n}^{\mathrm {c} }}<\infty \right\}\quad {\text{ oraz }}\quad \limsup A_{n}=\left\{\sum \chi _{A_{n}}=\infty \right\},}$

a ponadto ${\displaystyle (\liminf A_{n})^{\mathrm {c} }=\limsup A_{n}^{\mathrm {c} }}$ oraz ${\displaystyle (\limsup A_{n})^{\mathrm {c} }=\liminf A_{n}^{\mathrm {c} }}$^[c], gdzie ${\displaystyle A^{\mathrm {c} }}$ oznacza dopełnienie zbioru ${\displaystyle A.}$

Ciąg ${\displaystyle (A_{n})}$ nazywa się nierosnącym lub zstępującym, jeżeli ${\displaystyle A_{n+1}\subseteq A_{n}}$ oraz niemalejącym bądź wstępującym, jeżeli ${\displaystyle A_{n}\subseteq A_{n+1}}$ dla każdego ${\displaystyle n\in \mathbb {N} .}$ O takich ciągach mówi się zbiorczo: monotoniczne i jako takie są one zbieżne, przy czym jeśli ${\displaystyle (A_{n})}$ jest nierosnący (zstępujący), to^[d]

${\displaystyle \lim A_{n}=\bigcap A_{n},}$

a jeżeli ${\displaystyle (A_{n})}$ jest niemalejący (wstępujący), to^[d]

${\displaystyle \lim A_{n}=\bigcup A_{n}.}$

Niżej ${\displaystyle X}$ oznacza pewną przestrzeń probabilistyczną (bądź ogólniej: przestrzeń mierzalną z ustaloną miarą), a zbiory ${\displaystyle A_{n}}$ będą zdarzeniami losowymi (albo po prostu zbiorami mierzalnymi).

Granice ${\displaystyle \limsup A_{n}}$ oraz ${\displaystyle \liminf A_{n}}$ można uważać za „te zdarzenia ${\displaystyle A_{n},}$ które zachodzą nieskończenie często” oraz „te zdarzenia ${\displaystyle A_{n},}$ które w końcu będą zawsze zachodzić”; zawieranie ${\displaystyle \liminf A_{n}\subseteq \limsup A_{n}}$ oznacza więc, że „zdarzenia ${\displaystyle A_{n},}$ które ostatecznie zawsze zajdą, zachodzą nieskończenie często”, skąd granicę ${\displaystyle \lim A_{n}}$ można rozumieć jako żądanie, by „te ze zdarzeń ${\displaystyle A_{n},}$ które zachodzą nieskończenie często, ostatecznie zawsze zachodziły”.

Twierdzenie o ciągłości

Jeżeli ciąg ${\displaystyle A_{n}}$ jest monotoniczny, to prawdopodobieństwo tych ze zdarzeń z ${\displaystyle A_{n},}$ które ostatecznie zajdą jest równe granicy prawdopodobieństw ${\displaystyle A_{n}}$^[e], tzn.

${\displaystyle \mathbb {P} (\lim A_{n})=\lim \mathbb {P} (A_{n}).}$

Lematy Borela-Cantellego

Jeżeli ${\displaystyle \textstyle \sum \mathbb {P} (A_{n})<\infty ,}$ to ${\displaystyle \mathbb {P} \left(\limsup A_{n}\right)=0.}$ Z drugiej strony, jeżeli ${\displaystyle \textstyle \sum \mathbb {P} (A_{n})=\infty }$ dla zdarzeń niezależnych(!)^[f], to ${\displaystyle \mathbb {P} (\limsup A_{n})=1.}$

Korzystając z podanych intuicji lematy Borela-Cantellego, można rozumieć w następujący sposób: „jeżeli suma prawdopodobieństw zdarzeń ${\displaystyle A_{n}}$ jest skończona, to prawie na pewno nie przytrafią się zdarzenia, które zachodzą nieskończenie często, tzn. prawie na pewno zajdzie skończenie wiele spośród zdarzeń ${\displaystyle A_{n}}$” oraz „jeżeli suma prawdopodobieństw niezależnych zdarzeń ${\displaystyle A_{n}}$ jest nieskończona, to prawie na pewno mają miejsce zdarzenia zachodzące nieskończenie często” (gdzie przez „sumę” rozumie się „sumę nieskończoną”, czyli szereg); przypadkiem szczególnym drugiego z lematów jest twierdzenie o nieskończonej liczbie małp.

Klasa monotoniczna i λ-układ

Klasa monotoniczna to rodzina zdarzeń ${\displaystyle A_{n},}$ która zawiera wszystkie granice ciągów monotonicznych tej rodziny. Każde σ-ciało zdarzeń jest klasą monotoniczną, zaś każde ciało zdarzeń będące klasą monotoniczną jest ich σ-ciałem. λ-układ to z kolei rodzina zdarzeń ${\displaystyle A_{n},}$ do której należy ${\displaystyle X,}$ jeżeli zdarzenie ${\displaystyle A}$ pociąga ${\displaystyle B,}$ to rodzina zawiera różnicę zdarzeń ${\displaystyle A}$ oraz ${\displaystyle B}$ (zdarzenie przeciwne do ${\displaystyle B}$ względem ${\displaystyle A}$) oraz zawiera granice wstępujących ciągów zdarzeń należących do tej rodziny. Każdy λ-układ będący zarazem π-układem (rodziną zawierającą skończone koniunkcje należących do niej zdarzeń) jest σ-ciałem, o czym mówi lemat o π- i λ-układach.

Twierdzenia Carathéodory’ego i Hahna-Kołmogorowa

Niech ${\displaystyle P}$ będzie nieujemną i skończenie addytywną funkcją na pewnym ciele ${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$ określonym na przestrzeni ${\displaystyle X}$ (oraz ${\displaystyle P(X)=1}$). Jeśli zachodzi warunek

gdy ${\displaystyle A_{n}}$ jest ciągiem wstępującym elementów ${\displaystyle {\mathfrak {M}},}$ przy czym ${\displaystyle \lim A_{n}=A\in {\mathfrak {M}}}$ (np. gdy ${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$ jest również klasą monotoniczną), wtedy ${\displaystyle \lim P(A_{n})=P(\lim A_{n})=P(A),}$

to ${\displaystyle P}$ przedłuża się w jednoznaczny sposób do prawdopodobieństwa ${\displaystyle \mathbb {P} }$ na σ-ciele generowanym przez ${\displaystyle {\mathfrak {M}}.}$

Równoważnie można żądać, by ${\displaystyle A_{n}}$ był ciągiem zstępującym na ${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$ oraz ${\displaystyle \lim A_{n}=\varnothing \in {\mathfrak {M}},}$ kiedy to ${\displaystyle \lim P(A_{n})=P(\lim A_{n})=P(\varnothing )=0}$^[g] z tymi samymi założeniami i tezą dotyczącymi ${\displaystyle P.}$

W topologii ciągi zbiorów zstępujących służą charakteryzacji metryzowalnych przestrzeni zwartych i metrycznych przestrzeni zupełnych (zob. twierdzenie Cantora o zupełności).