Dekompozycja Kalmana

Dekompozycja Kalmana – termin używany w teorii sterowania na określenie konwersji realizacji stacjonarnego liniowego układu regulacji do postaci, w której układ ujawnia części obserwowalną i sterowalną co pozwala na wyciągnięcie wniosków odnośnie do osiągalnych i obserwowalnych podprzestrzeni dla danego układu.

Wyprowadzenie przebiega tak samo zarówno dla (stacjonarnych) układów czasu ciągłego, jak i układów dyskretnych. Niech dany będzie liniowy, stacjonarny układ ciągły opisany równaniami stanu:

${\displaystyle {\dot {x}}(t)=Ax(t)+Bu(t),}$

${\displaystyle y(t)=Cx(t)+Du(t).}$

Układ taki można opisać za pomocą krotki czterech macierzy ${\displaystyle (A,B,C,D).}$ Niech rząd systemu wynosi ${\displaystyle n.}$ Wówczas dekompozycja Kalmana zdefiniowana jest jako transformacja krotki ${\displaystyle (A,B,C,D)}$ do postaci ${\displaystyle ({\hat {A}},{\hat {B}},{\hat {C}},{\hat {D}})}$ w następujący sposób:

${\displaystyle {\hat {A}}=T^{-1}AT,}$

${\displaystyle {\hat {B}}=T^{-1}B,}$

${\displaystyle {\hat {C}}=CT,}$

${\displaystyle {\hat {D}}=D.}$

${\displaystyle T}$ jest macierzą odwrotną o rozmiarach ${\displaystyle n\times n}$ zdefiniowaną jako:

${\displaystyle T={\begin{bmatrix}T_{r{\overline {o}}}&T_{ro}&T_{\overline {ro}}&T_{{\overline {r}}o}\end{bmatrix}},}$

gdzie:

${\displaystyle T_{r{\overline {o}}}}$ – macierz, której kolumny rozpięte są w podprzestrzeni stanów, które są zarówno osiągalne, jak i nieobserwowalne;

${\displaystyle T_{ro}}$ – jest tak dobrana, że kolumny ${\displaystyle {\begin{bmatrix}T_{r{\overline {o}}}&T_{ro}\end{bmatrix}}}$ stanowią bazę dla podprzestrzeni osiągalnej;

${\displaystyle T_{\overline {ro}}}$ – jest tak dobrana, że kolumny ${\displaystyle {\begin{bmatrix}T_{r{\overline {o}}}&T_{\overline {ro}}\end{bmatrix}}}$ stanowią bazę dla podprzestrzeni nieobserwowalnej;

${\displaystyle T_{{\overline {r}}o}}$ – jest tak dobrana, że macierz ${\displaystyle {\begin{bmatrix}T_{r{\overline {o}}}&T_{ro}&T_{\overline {ro}}&T_{{\overline {r}}o}\end{bmatrix}}}$ jest odwrotna.

Można zauważyć, że niektóre z tych macierzy mogą mieć wymiar równy zero. Na przykład jeśli system jest zarówno obserwowalny, jak i sterowalny, wówczas ${\displaystyle T=T_{ro},}$ co sprawia, że inne macierze mają wymiar zerowy.

Korzystając z wyników dla sterowalności i obserwowalności, można pokazać, że układ po transformacji ${\displaystyle ({\hat {A}},{\hat {B}},{\hat {C}},{\hat {D}})}$ ma macierze o następującej postaci:

${\displaystyle {\hat {A}}={\begin{bmatrix}A_{r{\overline {o}}}&A_{12}&A_{13}&A_{14}\\0&A_{ro}&0&A_{24}\\0&0&A_{\overline {ro}}&A_{34}\\0&0&0&A_{{\overline {r}}o}\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle {\hat {B}}={\begin{bmatrix}B_{r{\overline {o}}}\\B_{ro}\\0\\0\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle {\hat {C}}={\begin{bmatrix}0&C_{ro}&0&C_{{\overline {r}}o}\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle {\hat {D}}=D}$

Prowadzi to do wniosku, że:

• Podukład ${\displaystyle (A_{ro},B_{ro},C_{ro},D)}$ jest zarówno osiągalny, jak i obserwowalny.
• Podukład ${\displaystyle \left({\begin{bmatrix}A_{r{\overline {o}}}&A_{12}\\0&A_{ro}\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}B_{r{\overline {o}}}\\B_{ro}\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}0&C_{ro}\end{bmatrix}},D\right)}$ jest osiągalny.
• Podukład ${\displaystyle \left({\begin{bmatrix}A_{ro}&A_{24}\\0&A_{{\overline {r}}o}\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}B_{ro}\\0\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}C_{ro}&C_{{\overline {r}}o}\end{bmatrix}},D\right)}$ jest obserwowalny.

• układ regulacji stałowartościowej