Dopełnienie algebraiczne

Dopełnienie algebraiczne – dopełnienie algebraiczne elementu ${\displaystyle a_{ij}}$ danej macierzy kwadratowej ${\displaystyle A}$ stopnia ${\displaystyle n}$ jest to iloczyn ${\displaystyle (-1)^{i+j}}$ oraz minora ${\displaystyle M_{ij},}$ czyli wyznacznika podmacierzy stopnia ${\displaystyle n-1}$ powstałego z usunięcia ${\displaystyle i}$-tego wiersza oraz ${\displaystyle j}$-ej kolumny macierzy ${\displaystyle A.}$

Dopełnienie algebraiczne elementu ${\displaystyle a_{ij}}$ macierzy ${\displaystyle A}$ oznacza się często symbolem ${\displaystyle A_{ij}}$^[1], a macierz

${\displaystyle {\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &A_{1n}\\A_{21}&A_{22}&\cdots &A_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{n1}&A_{n2}&\cdots &A_{nn}\end{bmatrix}},}$

złożoną z dopełnień algebraicznych (oznaczaną ${\displaystyle [A_{ij}]}$), nazywa się macierzą dopełnień algebraicznych macierzy ${\displaystyle A.}$

Dana jest macierz:

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&-2&0\\3&0&1\\-1&1&-3\end{bmatrix}}}$

Dopełnienia algebraiczne elementów ${\displaystyle a_{11}}$ oraz ${\displaystyle a_{23}}$ tej macierzy wynoszą, odpowiednio:

${\displaystyle A_{{\color {red}1}{\color {blue}1}}=(-1)^{{\color {red}1}+{\color {blue}1}}\cdot {\begin{vmatrix}0&1\\1&-3\end{vmatrix}}=-1}$

${\displaystyle A_{{\color {OliveGreen}2}{\color {Brown}3}}=(-1)^{{\color {OliveGreen}2}+{\color {Brown}3}}\cdot {\begin{vmatrix}1&-2\\-1&1\end{vmatrix}}=1}$

• macierz dołączona

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Cofactor, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12]  (ang.).
• Cofactor (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-04-23].