Dynamiczne równanie ruchu

Dynamiczne równanie ruchu (różniczkowe równanie ruchu) – równanie różniczkowe, określające szybkość zmian pewnych wielkości fizycznych (np. prędkości, położenia) jako funkcję aktualnego stanu układu^[1][2]. Przez równanie ruchu najczęściej rozumiemy II zasadę dynamiki Newtona, zapisaną w postaci równania różniczkowego. W ogólności równanie ruchu dla pojedynczej cząstki można zapisać jako:

${\displaystyle m{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}{\boldsymbol {r}}}{\mathrm {d} t^{2}}}={\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {r}},{\tfrac {\mathrm {d} {\boldsymbol {r}}}{\mathrm {d} t}},t),}$

gdzie funkcja wektorowa ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}}$ jest siłą działającą na ciało w chwili ${\displaystyle t}$ w punkcie przestrzeni wyznaczonym przez wektor wodzący ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}.}$ Wzór ten redukuje się do prostszej postaci, jeżeli siła dana jest w sposób jawny, np. wynika ze znanego potencjału pola sił.

Jeżeli prawa strona jest funkcją ciągłą, to przez punkt w przestrzeni wyznaczony przy zadanych warunkach brzegowych (położenie i prędkość w danej chwili) przechodzi dokładnie jedna krzywa całkowa. Jeżeli istniałaby istota, która w danej chwili poznałaby położenie i pęd wszystkich cząstek elementarnych we wszechświecie, to zgodnie z prawami mechaniki klasycznej mogłaby poznać prawą stronę powyższego równania i jednoznacznie wyznaczyć tor ruchu każdej z cząstek. Innymi słowy istota ta znałaby przeszłość i przyszłość wszechświata.

Niech współrzędne krzywoliniowe ${\displaystyle q_{1}(t),q_{2}(t),q_{3}(t)}$ tworzą układ współrzędnych w przestrzeni ${\displaystyle R^{3}.}$ Oznaczmy przez ${\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{1},{\boldsymbol {e}}_{2},{\boldsymbol {e}}_{3}}$ wersory kierunków stycznych do osi tego układu^[2].

Jeżeli ${\displaystyle {\boldsymbol {a}}}$ jest wektorem przyspieszenia, to jego rzuty na osie układu współrzędnych można zapisać wzorami:

${\displaystyle a_{i}={\boldsymbol {a}}{\boldsymbol {e}}_{i}={\dot {\boldsymbol {v}}}\mathbf {e} _{i}={\dot {\boldsymbol {v}}}{\frac {\partial {\boldsymbol {r}}/\partial q_{i}}{|\partial {\boldsymbol {r}}/\partial q_{i}|}},\quad i=1,2,3.}$

Ponieważ

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}({\boldsymbol {v}}{\boldsymbol {e}}_{i})={\dot {\boldsymbol {v}}}{\boldsymbol {e}}_{i}+{\boldsymbol {v}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\boldsymbol {e}}_{i}\quad \longrightarrow \quad {\dot {\boldsymbol {v}}}{\boldsymbol {e}}_{i}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}({\boldsymbol {v}}{\boldsymbol {e}}_{i})-{\boldsymbol {v}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\boldsymbol {e}}_{i}}$

zatem

(1) ${\displaystyle a_{i}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}({\boldsymbol {v}}{\boldsymbol {e}}_{i})-{\boldsymbol {v}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\boldsymbol {e}}_{i}={\frac {1}{|\partial {\boldsymbol {r}}/\partial q_{i}|}}\left[{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\boldsymbol {v}}{\frac {\partial {\boldsymbol {r}}}{\partial q_{i}}}\right)-{\boldsymbol {v}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial {\boldsymbol {r}}}{\partial q_{i}}}\right].}$

Na podstawie wzoru dla prędkości

${\displaystyle {\boldsymbol {v}}={\frac {\partial {\boldsymbol {r}}}{\partial q_{1}}}{\dot {q}}_{1}+{\frac {\partial {\boldsymbol {r}}}{\partial q_{2}}}{\dot {q}}_{2}+{\frac {\partial {\boldsymbol {r}}}{\partial q_{3}}}{\dot {q}}_{3}}$

mamy

(2) ${\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {r}}}{\partial q_{i}}}={\frac {\partial {\boldsymbol {v}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}}$

i dzięki temu

${\displaystyle {\boldsymbol {v}}{\frac {\partial {\boldsymbol {r}}}{\partial q_{i}}}={\boldsymbol {v}}{\frac {\partial {\boldsymbol {v}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}={\frac {\partial (v^{2}/2)}{\partial {\dot {q}}_{i}}}.}$

Mamy również

(3) ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial {\boldsymbol {r}}}{\partial q_{1}}}={\frac {\partial ^{2}{\boldsymbol {r}}}{\partial q_{1}^{2}}}{\dot {q}}_{1}+{\frac {\partial ^{2}{\boldsymbol {r}}}{\partial q_{1}\partial q_{2}}}{\dot {q}}_{2}+{\frac {\partial ^{2}{\boldsymbol {r}}}{\partial q_{1}\partial q_{3}}}{\dot {q}}_{3}}$

oraz

(4) ${\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {v}}}{\partial q_{1}}}={\frac {\partial ^{2}{\boldsymbol {r}}}{\partial q_{1}^{2}}}{\dot {q}}_{1}+{\frac {\partial ^{2}{\boldsymbol {r}}}{\partial q_{2}q_{1}}}{\dot {q}}_{2}+{\frac {\partial ^{2}{\boldsymbol {r}}}{\partial q_{3}q_{1}}}{\dot {q}}_{3}.}$

Z porównania prawych stron (3) i (4) wynika, że

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial {\boldsymbol {r}}}{\partial q_{i}}}={\frac {\partial {\boldsymbol {v}}}{\partial q_{i}}},\quad i=1,2,3.}$

Mamy zatem

(5) ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial {\boldsymbol {r}}}{\partial q_{i}}}={\boldsymbol {v}}{\frac {\partial {\boldsymbol {v}}}{\partial q_{i}}}={\frac {\partial (v^{2}/2)}{\partial q_{i}}}.}$

Po podstawieniu (2) i (5) do (1) otrzymujemy następujące wzory dla rzutów wektora przyspieszenia na osie krzywoliniowego układu współrzędnych

${\displaystyle a_{i}={\frac {1}{|\partial {\boldsymbol {r}}/\partial q_{i}|}}\left[{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial (v^{2}/2)}{\partial {\dot {q}}_{i}}}-{\frac {\partial (v^{2}/2)}{\partial q_{i}}}\right],\quad i=1,2,3.}$

Podstawowe równanie dynamiki ruchu punktu materialnego o masie ${\displaystyle m}$ ma postać

${\displaystyle m{\boldsymbol {a}}={\boldsymbol {F}}}$

i jest równoważne trzem równaniom skalarnym we współrzędnych kartezjańskich

${\displaystyle m{\ddot {x}}=F_{x},\quad m{\ddot {y}}=F_{y},\quad m{\ddot {z}}=F_{z}.}$

W ogólnym przypadku współrzędnych krzywoliniowych otrzymujemy^[2]

${\displaystyle {\frac {m}{|\partial {\boldsymbol {r}}/\partial q_{i}|}}\left[{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial (v^{2}/2)}{\partial {\dot {q}}_{i}}}-{\frac {\partial (v^{2}/2)}{\partial q_{i}}}\right]=F_{i},\quad i=1,2,3,}$

gdzie ${\displaystyle F_{i}}$ jest rzutem na odpowiednią oś współrzędnych ${\displaystyle q_{i}}$ wypadkowej ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}}$ sił działających na punkt materialny, a ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}}$ prędkością tego punktu.

• kinematyczne równanie ruchu
• Kanoniczne równania ruchu