Element nierozkładalny

Element nierozkładalny – element nieodwracalny pierścienia całkowitego, który nie daje się przedstawić jako iloczyn dwóch elementów nieodwracalnych, tzn. element ${\displaystyle q}$ pierścienia całkowitego ${\displaystyle A}$ jest nierozkładalny, gdy jest on nieodwracalny oraz jeżeli ${\displaystyle q=ab}$ dla pewnych elementów ${\displaystyle a}$ i ${\displaystyle b}$ pierścienia ${\displaystyle A,}$ to element ${\displaystyle a}$ albo element ${\displaystyle b}$ jest odwracalny^[1].

Jeśli ${\displaystyle K}$ jest ciałem, to każdy wielomian liniowy jest nierozkładalny w pierścieniu ${\displaystyle K[x].}$ Na ogół, w pierścieniu ${\displaystyle K[x]}$ istnieją wielomiany nierozkładalne wyższych stopni, np. wielomian ${\displaystyle x^{2}+x+1}$ jest nierozkładalny w ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}[x],\mathbb {Q} [x],\mathbb {R} [x].}$

• Każdy element stowarzyszony z elementem nierozkładalnym jest nierozkładalny.
• Każdy element pierwszy jest nierozkładalny.
• W pierścieniu noetherowskim każdy niezerowy, nieodwracalny element tego pierścienia można przedstawić jako iloczyn elementów nierozkładalnych.
• W pierścieniu ideałów głównych ${\displaystyle P}$ element ${\displaystyle q\in P}$ jest nierozkładalny wtedy i tylko wtedy, gdy ideał generowany przez ten element, ${\displaystyle (q)}$ jest maksymalny, czyli wtedy i tylko wtedy, gdy pierścień ilorazowy ${\displaystyle P/(q)}$ jest ciałem.

• kryterium Eisensteina
• pierścień z jednoznacznością rozkładu
• wielomian nierozkładalny

• Andrzej Białynicki-Birula: Zarys algebry. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1987. Brak numerów stron w książce