Ciało (matematyka)

Ciało – typ struktury algebraicznej z dwoma działaniami; definiowany na kilka równoważnych sposobów, np. jako:

• przemienny pierścień z dzieleniem;
• dziedzina całkowitości z odwracalnością elementów.

Inne definicje podano niżej. Ciała formalizują własności algebraiczne liczb wymiernych czy rzeczywistych znanych od starożytności, jednak samodzielna teoria ciał pojawiła się w XIX wieku. Pomogła rozwiązać takie problemy jak:

• rozwiązalność równań wielomianowych (jednej zmiennej) przez pierwiastniki (działania obowiązujące w ciałach i wyciąganie pierwiastków); zajmuje się tym teoria Galois badająca ciała przez ich grupy automorfizmów;
• wykonalność pewnych konstrukcji klasycznych (konstrukcji geometrycznych, w których dozwolone jest korzystanie z wyidealizowanych cyrkla i linijki).

Oprócz tego pojęcie ciała pojawia się w ogólnej definicji przestrzeni liniowej; przez to ciała definiują najogólniejsze pojęcia skalara.

Ciałami są między innymi niektóre rodzaje liczb:

• liczby wymierne;
• ich niektóre rozszerzenia: liczby konstruowalne, algebraiczne, rzeczywiste i p-adyczne ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p};}$
• niektóre rozszerzenia liczb rzeczywistych jak liczby zespolone czy hiperrzeczywiste.

Oprócz tego:

• funkcje wymierne o współczynnikach z dowolnego ciała również są ciałem;
• istnieją ciała skończone jak ciało Z_p.

Ciało funkcji wymiernych ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}(t)}$ wyróżnia się nieskończoną mocą przy dodatniej charakterystyce.

Algebraiczne własności ciała mają też liczby nadrzeczywiste, jednak nie tworzą one zbioru – są klasą właściwą.

Pojęcia ciała – bez nadawania mu nazwy – używał Évariste Galois, który sklasyfikował ciała skończone. Później Bernhard Riemann w 1857 badał ciała funkcji meromorficznych. Richard Dedekind podał formalną definicję ciała pod nazwą dziedzina wymierności.

Nazwa ciało (niem. Körper) pojawiła się po raz pierwszy w Teorii liczb Dirichleta, oznaczając zespół, poczet albo ucieleśnienie elementów powstających z operacji wymiernych (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie). Problem pierwszeństwa jest skomplikowany: Dedekind był uczniem Dirichleta, napisał Suplementy do jego wykładów; w XI Suplemencie (IV wydanie, Brunszwik 1894) używana jest nazwa ciało.

Angielscy matematycy używali krótko łacińskiego odpowiednika corpus, zaś francuscy matematycy używają do dziś pokrewnego corps (ozn. ciało). Używane teraz w języku angielskim słowo field (dosł. pole) wprowadzili zapewne^[10] amerykańscy algebraicy, którzy początkowo używali również nazwy realm (dosł. dziedzina, królestwo).

• Z definicji ciała wynika, że nie zawiera ono właściwych dzielników zera. Innymi słowy jest ono dziedziną całkowitości.
• W ciele są dokładnie dwa ideały: ideał zerowy ${\displaystyle \{0\}}$ i całe ciało ${\displaystyle K.}$ Jeżeli bowiem ideał ciała nie jest zerowy, to zawiera element odwracalny względem mnożenia, a więc jest równy ${\displaystyle K.}$
• Ciała skończone można sklasyfikować: każde z nich ma ${\displaystyle p^{n}}$ elementów, gdzie ${\displaystyle p}$ jest pewną liczbą pierwszą, a ${\displaystyle n}$ jest liczbą naturalną. Co więcej, ciała skończone o tej samej liczbie elementów są izomorficzne, czyli z punktu widzenia algebry mogą być uważane za jednakowe.

Podciałem ciała ${\displaystyle K}$ nazywa się taki podzbiór ${\displaystyle L}$ ciała ${\displaystyle K,}$ który sam jest ciałem (ze względu na działania dziedziczone z ${\displaystyle K}$). Dowolny homomorfizm ciał ${\displaystyle \varphi \colon M\to N}$ jest zanurzeniem, gdyż

${\displaystyle 1_{N}=\varphi (1_{M})=\varphi (xx^{-1})=\varphi (x)\varphi (x^{-1})=\varphi (x)\varphi (x)^{-1},}$

a więc ${\displaystyle \varphi (x)\neq 0}$ dla każdego ${\displaystyle x\in M.}$

Dla każdego ciała ${\displaystyle K}$ zawsze istnieje homomorfizm pierścieni ${\displaystyle \phi \colon \mathbb {Z} \to K;}$ jeżeli ${\displaystyle \phi }$ jest zanurzeniem, to najmniejsze podciało ciała ${\displaystyle K}$ zawierające pierścień ${\displaystyle \phi (\mathbb {Z} )}$ jest izomorficzne z ${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$ a o ${\displaystyle K}$ mówi się, że jest charakterystyki zero; w przeciwnym wypadku istnieje najmniejsza liczba naturalna ${\displaystyle p}$ taka, że ${\displaystyle \phi (p)=0}$ i jest ona liczbą pierwszą; wówczas pierścień ${\displaystyle \phi (\mathbb {Z} )}$ jest izomorficzny z ciałem reszt ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ i mówi się, że ${\displaystyle K}$ ma charakterystykę równą ${\displaystyle p.}$

Jeżeli ${\displaystyle L}$ jest podciałem ciała ${\displaystyle K,}$ to ciało ${\displaystyle K}$ nazywa się wtedy rozszerzeniem ciała ${\displaystyle L}$ i tę relację między ciałami oznacza się ${\displaystyle K/L.}$ Charakterystyka ${\displaystyle K}$ jest równa charakterystyce ${\displaystyle L}$ i ${\displaystyle K}$ jest przestrzenią liniową nad ${\displaystyle L.}$ Stopniem ${\displaystyle [K:L]}$ rozszerzenia ${\displaystyle K/L}$ nazywa się wymiar tej przestrzeni liniowej. Rozszerzenie ${\displaystyle K/L}$ nazywa się rozszerzeniem skończonym, gdy jego stopień jest skończony, i rozszerzeniem nieskończonym, gdy jego stopień jest nieskończony.

Część wspólna dowolnej rodziny podciał ciała ${\displaystyle K}$ jest jego podciałem; w szczególności dla każdego podzbioru ${\displaystyle A\subset K}$ istnieje najmniejsze podciało ciała ${\displaystyle K.}$ Jeśli ${\displaystyle L}$ jest podciałem ciała ${\displaystyle K,}$ a ${\displaystyle A}$ – podzbiorem, to najmniejsze podciało ciała ${\displaystyle K}$ zawierające ${\displaystyle L}$ i ${\displaystyle A}$ oznacza się ${\displaystyle L(A).}$

Część wspólna wszystkich podciał ciała ${\displaystyle K}$ nazywana jest podciałem prostym ciała ${\displaystyle K.}$ Podciało proste jest ciałem prostym.

• Ciało ułamków pierścienia całkowitego.
• ${\displaystyle I\subset R}$ jest ideałem maksymalnym pierścienia ${\displaystyle R,}$ wtedy i tylko wtedy, gdy pierścień ilorazowy ${\displaystyle R/I}$ jest ciałem.
• Rozszerzenie ${\displaystyle K(a)}$ ciała ${\displaystyle K}$ o pierwiastek wielomianu nierozkładalnego ${\displaystyle f(X)\in K[X]}$ to pierścień ilorazowy ${\displaystyle K[X]/(f(X)).}$
• Rozszerzenie ${\displaystyle K(t)}$ ciała ${\displaystyle K}$ o element przestępny ${\displaystyle t}$ (ciało funkcji wymiernych zmiennej ${\displaystyle t}$ nad ciałem ${\displaystyle K}$) to ciało ułamków pierścienia wielomianów ${\displaystyle K[t].}$
• Jeśli ciało ${\displaystyle K}$ jest podciałem ciała ${\displaystyle L,}$ natomiast ${\displaystyle A}$ jest podzbiorem ${\displaystyle L,}$ to istnieje najmniejsze podciało ${\displaystyle K(A)}$ ciała ${\displaystyle L}$ zawierające ${\displaystyle K}$ i ${\displaystyle A;}$ jest ono częścią wspólną wszystkich podciał ciała ${\displaystyle L}$ zawierających ${\displaystyle K}$ i ${\displaystyle L.}$ Każdy jego element jest ilorazem sum iloczynów element ciała ${\displaystyle K}$ razy iloczyn elementów zbioru ${\displaystyle A.}$
• Ultraprodukt ciał jest ciałem.

• L. Pontriagin: Grupy topologiczne. Warszawa: PWN, 1961. Brak numerów stron w książce
• E. Artin: Geometric Algebra. London: Interscience Publishers LCD., 1957. Brak numerów stron w książce
• M. Berger: Géométrie. Paris: Nathan, 1977. Brak numerów stron w książce
• А.И. Кострикин: Введение в алгебру. Основы алгебры. Москва: Наука, 1994. Brak numerów stron w książce

• Jerzy Browkin, Teoria ciał, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1977.

• Paweł Lubowiecki, Struktury algebraiczne cz. IV Ciało, Wojskowa Akademia Techniczna im. Jarosława Dąbrowskiego, kanał „Uczelnia WAT” na YouTube, 30 stycznia 2024 [dostęp 2024-09-07].
• Field (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-06-18].