Zasadnicze twierdzenie algebry

Zasadnicze twierdzenie algebry, podstawowe twierdzenie algebry^[1] – wspólna nazwa dwóch blisko powiązanych twierdzeń algebry i analizy zespolonej:

każdy wielomian zespolony stopnia dodatniego ma pierwiastek^[1];
stopień niezerowego wielomianu zespolonego jest równy sumie krotności jego pierwiastków. Oznacza to, że każdy wielomian zespolony rozkłada się na czynniki liniowe – można go przedstawić jako ich iloczyn:

f\in \mathbb {C} [X]\Rightarrow \exists a,z_{1},\dots ,z_{n}\in \mathbb {C} :f(z)=a(z-z_{1})(z-z_{2})\dots (z-z_{n}).

Drugie twierdzenie jest konsekwencją pierwszego i twierdzenia Bézouta. Oba można też wyrazić w języku algebry abstrakcyjnej: ciało liczb zespolonych $\mathbb {C}$ jest algebraicznie domknięte, a pierścień wielomianów zespolonych $\mathbb {C} [X]$ ma jednoznaczność rozkładu – należy do pierścieni Gaussa.

Twierdzenie to udowodnili na przełomie XVIII i XIX wieku Carl Friedrich Gauss i Jean-Robert Argand – ten pierwszy podał większość dowodu, a drugi go uzupełnił^[2].

Uwaga

Inaczej niż w przypadku zespolonym wygląda sprawa wielomianów rzeczywistych i ich pierwiastków rzeczywistych – wielomian stopnia $n$ może nie mieć wcale pierwiastków, a jeśli ma, to jest ich co najwyżej $n.$ Natomiast każdy wielomian rzeczywisty stopnia nieparzystego ma przynajmniej jeden pierwiastek rzeczywisty (wynika to z faktu, że granice niewłaściwe wielomianu rzeczywistego stopnia nieparzystego w $\pm \infty$ są różnych znaków, a także z faktu, że wielomian jako funkcja ciągła ma własność Darboux – a zatem musi przyjąć wartość pośrednią 0).

Historia

Przed Gaussem dowody twierdzenia ogłaszało co najmniej sześciu innych matematyków:

Jean le Rond d’Alembert (1746)^[1];
Leonhard Euler (1749)^[1];
Daviet de Foncenex;
Joseph Louis Lagrange (1772)^[1];
Pierre Simon de Laplace (1812)^[1];
James Wood.

Były one jednak niekompletne lub zawierały luki i dlatego nie zostały powszechnie uznane. W 1799 roku Carl Friedrich Gauss podał większość pierwszego poprawnego dowodu. Jego wywód również zawierał lukę, choć bardziej subtelną^[3]. Gauss podał cztery różne dowody w ciągu swojego życia^[4]. W 1926 roku Emil Artin i Otto Schreier podali pierwsze dowody algebraiczne^[1].

Nazwa twierdzenia pojawiła się najpóźniej w drugiej połowie XIX wieku^[5].

O dowodach

Dowody zasadniczego twierdzenia algebry można dzielić na „algebraiczne” i „analityczne” (tzn. odwołujące się do wyników i pojęć analizy matematycznej, szczególnie do ciągłości). Z reguły „bardziej algebraiczne” dowody są dłuższe i bardziej skomplikowane. Oprócz tego, nawet w „najbardziej algebraicznych” dowodach nie potrafimy uniknąć stosowania niektórych twierdzeń analizy matematycznej, a więc dowód nie będzie „zupełnie algebraiczny”. Twierdzenia analizy zespolonej takie jak twierdzenie Liouville’a czy twierdzenie Rouchégo, znacznie upraszczają dowód zasadniczego twierdzenia algebry.

W poniższych dowodach będą stosowane następujące znane fakty:

funkcje wielomianowe są ciągłe (na płaszczyźnie zespolonej);
twierdzenie Weierstrassa o kresach: funkcja określona na przestrzeni zwartej o wartościach rzeczywistych osiąga swoje kresy, dokładniej jeśli $X$ jest przestrzenią zwartą, a $f$ jest rzeczywistą funkcją ciągłą na $X,$ to istnieją takie punkty $a,b\in X,$ że

f(a)=\min\{f(x):x\in X\}

oraz

f(b)=\max\{f(x):x\in X\}.

domknięte i ograniczone podzbiory płaszczyzny zespolonej są zwarte.

Dowód oparty na twierdzeniu Liouville’a

Twierdzenie Liouville’a: ograniczona funkcja całkowita jest stała. Innymi słowy: jeżeli funkcja zespolona jest analityczna na całej płaszczyźnie zespolonej i nie jest stała, to jest ona nieograniczona.

Niech $f$ będzie dowolnym wielomianem zespolonym stopnia dodatniego, tzn. wielomian $f$ nie jest funkcją stałą. Wiadomo, że wielomiany są funkcjami analitycznymi na całej płaszczyźnie zespolonej. Z twierdzenia Liouville’a wynika, że funkcja $f$ jest nieograniczona. Wówczas dla dowolnego $M>0$ istnieje takie $R>0,$ że w zewnętrzu okręgu $|z|=R$ (inaczej mówiąc, dla $|z|>R$ ) spełniona jest nierówność $|f(z)|>M.$ Niech $M$ i $R$ będą ustalonymi liczbami o tych własnościach.

Przypuśćmy, że wielomian $f$ nie ma żadnego pierwiastka zespolonego, tzn. $f(z)\neq 0$ dla każdej liczby zespolonej $z.$ Wówczas funkcja $g$ dana wzorem:

g(z)={\frac {1}{f(z)}}

jest określona na całej płaszczyźnie, a ponadto analityczna. Wówczas dla $|z|>R$ zachodzi nierówność:

|g(z)|<{\frac {1}{M}},

ponieważ $|f(z)|>M$ dla $|z|>R.$

Należy teraz rozpatrzeć, co dzieje się z wartościami funkcji $f$ w kole $|z|\leqslant R.$ Rozważmy funkcję

z\mapsto |f(z)|,

która przyjmuje wartości rzeczywiste. Ponieważ koło domknięte $|z|\leqslant R$ jest zbiorem zwartym, istnieje więc taki jego element $z_{0},$ że:

|f(z_{0})|=\min\{|f(z)|:|z|\leqslant R\}>0.

Wynika stąd, że:

|g(z)|\leqslant {\frac {1}{|f(z_{0})|}}.

Możemy tym samym oszacować funkcję $g$ na całej płaszczyźnie:

|g(z)|\leqslant \max \left\{{\frac {1}{M}},\ {\frac {1}{|f(z_{0})|}}\right\}.

Wówczas z twierdzenia Liouville’a wynika, że $g$ jest stała, ale wtedy:

f(z)={\frac {1}{g(z)}}

też jest stała, co jest sprzeczne z przypuszczeniem, a zatem wielomian $f$ ma pierwiastek zespolony.

Przykład innego dowodu

Wystarczy wykazać, że dla każdego wielomianu zespolonego

v(x)=a_{0}+a_{1}x+\ldots +a_{n}x^{n},\;a_{0}\neq 0,\;a_{n}\neq 0,\;n\geqslant 1

istnieje taka liczba zespolona $x_{0},$ że

|v(x_{0})|=0.

Lemat 1

Jeśli $v$ jest niezerowym wielomianem o współczynnikach zespolonych, to

(\exists {r>0})(\forall {x\in \mathbb {C} })(|x|>r\Rightarrow |v(x)|>|v(0)|=|a_{0}|)

Dowód

Niech

v(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\ldots +a_{n}x^{n}.

Wówczas

{\begin{array}{lcl}|v(x)|&=&|x|^{n}|a_{n}+a_{n-1}({\tfrac {1}{x}})+\ldots +a_{1}({\tfrac {1}{x}})^{n-1}+a_{0}({\tfrac {1}{x}})^{n}|\\&=&|x|^{n}|a_{n}+w(x)|\end{array}},

gdzie:

w(y)=a_{n-1}y+\ldots +a_{0}y^{n}.

Z ciągłości funkcji wielomianowej $w$ oraz faktu, że $w(0)=0,$ dla pewnego $R>0$ spełniony jest warunek

|w(y)|<{\frac {|a_{n}|}{2}}

o ile tylko $|y|<R.$ Stąd, jeśli

{\frac {1}{|y|}}>{\frac {1}{R}},

to

\left|w\left({\tfrac {1}{y}}\right)\right|>{\tfrac {|a_{n}|}{2}}.

Podstawiając $y={\tfrac {1}{x}},$ dostajemy

|w(x)|>{\tfrac {|a_{n}|}{2}}

dla wszystkich $|x|>{\tfrac {1}{R}}.$

Ostatecznie:

{\begin{array}{lcl}|v(x)|&=&|x|^{n}|a_{n}+a_{n-1}({\tfrac {1}{x}})+\ldots +a_{1}({\tfrac {1}{x}})^{n-1}+a_{0}({\tfrac {1}{x}})^{n}|\\&\geqslant &|x|^{n}(|a_{n}|-|a_{n-1}({\tfrac {1}{x}})+\ldots +a_{1}({\tfrac {1}{x}})^{n-1}+a_{0}({\tfrac {1}{x}})^{n}|)\\&\geqslant &{\frac {|a_{n}|}{2}}|x|^{n}\end{array}},

oraz

{\frac {|a_{n}|}{2}}|x|^{n}>|a_{0}|,

gdy

|x|>{\sqrt[{n}]{\tfrac {2|a_{0}|}{|a_{n}|}}}.

Istnieje więc takie $r>0,$ że teza lematu jest spełniona, mianowicie:

r=\max \left\{{\frac {1}{R}},{\sqrt[{n}]{\tfrac {2|a_{0}|}{|a_{n}|}}}\right\}.

Lemat Cauchy’ego

Dla każdego wielomianu $v$ o współczynnikach zespolonych, dla którego $v(0)\neq 0,$ istnieje taka liczba $r>0,$ że minimum funkcji $|v(x)|$ jest osiągnięte w kole $|x|\leqslant r.$

Dowód

Niech

v(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\ldots +a_{n}x^{n},

przy czym $a_{0}\neq 0.$ Niech ponadto

r=\max \left\{{\frac {1}{R}},{\sqrt[{n}]{\tfrac {2|a_{0}|}{|a_{n}|}}}\right\}.

Wówczas z Lematu 1 wynika, iż poza kołem $|x|\leqslant r$ spełniona jest nierówność $|v(x)|>|a_{0}|.$ Ponieważ koło $|x|\leqslant r$ jest zbiorem zwartym, funkcja $|v(x)|$ przyjmuje w nim minimum lokalne dla pewnego $x_{0}$ spełniającego $|x_{0}|\leqslant r.$ W szczególności, $|v(x_{0})|>|a_{0}|.$ Zatem $x_{0}$ jest również minimum globalnym funkcji $|v(x)|.$

Lemat 2

Niech $p$ będzie wielomianem o współczynnikach zespolonych, spełniającym warunek $p(0)\neq 0$ oraz niech $k$ będzie dowolną liczbą naturalną. Wówczas dla każdej niezerowej liczby zespolonej $a$ istnieje taka liczba zespolona $b,$ że

|a+b^{k}p(b)|<|a|.

Dowód

Niech $p$ i $k$ będą takie jak wyżej. Z ciągłości funkcji wielomianowej $p$ wynika, iż istnieje takie $\delta >0,$ że

|p(x)-p(0)|<{\tfrac {|p(0)|}{2}}

o ile $|x|<\delta .$ Niech $a$ będzie niezerową liczbą zespoloną. Wówczas

{\begin{array}{lcl}|a+x^{k}p(x)|&\leqslant &|a+x^{k}p(0)|+|x|^{k}|p(x)-p(0)|\\&\leqslant &|a+x^{k}p(0)|+{\frac {|x|^{k}|p(0)|}{2}}.\end{array}}

Niech $b\in \mathbb {C} ,$ wówczas

p(0)b^{k}=-ta

dla

0<t<1.

Dla każdego $t>0$ istnieje $b,$ które spełnia powyższą równość.

|a+p(0)b^{k}|=|a-ta|=(1-t)|a|

{\frac {|p(0)||b|^{k}}{2}}={\frac {t|a|}{2}}

Jeżeli $b$ jest takie, że $|b|<\delta$ to:

|a+b^{k}p(b)|\leqslant (1-t)|a|+{\tfrac {t|a|}{2}}=(1-{\tfrac {t}{2}})|a|<|a|

i twierdzenie zachodzi, ale żeby było $|b|<\delta ,$ to musi być $|b|^{k}<\delta ^{k},$ czyli:

|p(0)|\,|b|^{k}=t|a|<|p(0)|\,|\delta |^{k}\implies t<{\frac {|p(0)|\delta ^{k}}{|a|}}.

Lemat d’Alemberta-Arganda^[6]^[7]

Niech $v$ będzie wielomianem o współczynnikach zespolonych stopnia co najmniej pierwszego, który spełnia warunek $v(0)=a_{0}\neq 0.$ Dla każdej liczby zespolonej $x_{0},$ dla której $|v(x_{0})|>0,$ istnieje taka liczba $y_{0},$ że

|v(y_{0})|<|v(x_{0})|.

Dowód

v(x+x_{0})=a_{0}+a_{1}(x+x_{0})+\ldots +a_{n}(x+x_{0})^{n}=a_{0}+a_{1}x_{0}+\ldots +a_{n}x_{0}^{n}+x^{k}w(x)=v(x_{0})+x^{k}w(x),

przy czym $w(0)\neq 0.$ Z Lematu 2 wynika, że istnieje taka liczba zespolona $b,$ iż

|v(x_{0})+b^{k}w(b)|<|v(x_{0})|,

czyli

|v(x_{0}+b)|<|v(x_{0})|.

Przyjmując $y_{0}=b+x_{0}$ otrzymuje się tezę.

Dowód zasadniczego twierdzenia algebry

Z lematu Cauchy’ego i d’Alemberta-Arganda wynika dowód tezy postawionej na początku. Załóżmy bowiem, że $v\in \mathbb {C} [x]$ i nie istnieje takie $x\in \mathbb {C} ,$ że $|v(x)|=0.$ Wówczas z lematu Cauchy’ego wiemy, że istnieje taki promień $r,$ że minimum globalne $|v(x)|$ jest przyjęte w kole $\{x:|x|\leqslant r\}$ dla pewnego $x_{0}.$ Założyliśmy jednak, że $|v(x)|$ jest zawsze większe od $0,$ a wtedy z lematu d’Alemberta-Arganda wynika, że istnieje $y_{0}\in \mathbb {C}$ takie, że $|v(y_{0})|<|v(x_{0})|,$ co stoi w sprzeczności z tym, że w punkcie $x_{0}$ funkcja $|v(x)|$ przyjmuje minimum globalne, a zatem musi być $|v(x_{0})|=0.$

Zobacz też

Przypisy

1 2 3 4 5 6 7 Algebry twierdzenie podstawowe, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-07-24] .
↑ Arkadiusz Męcel, Zera funkcji kwadratowych, pismo „Delta”, listopad 2012, deltami.edu.pl [dostęp 2023-08-06].
↑ Fund theorem of algebra [online], www-groups.dcs.st-and.ac.uk [dostęp 2016-04-04] .
↑ Hans Niels Jahnke: A history of analysis. Providence, RI: American Mathematical Society, 2003, s. 215-216. ISBN 0-8218-2623-9. OCLC 51607350.
↑ Jeff Miller, Fundamental theorem of algebra, [w:] Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (F) (ang.), MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews, mathshistory.st-andrews.ac.uk [dostęp 2023-08-06].
↑ J.R. d’Alembert, Recherches sur le calcul intégral, The Histoire de l’Académie des Sciences et des Belles-Lettres (1746) 182–192.
↑ J.R. Argand, Philosophie mathématique. Réflexions sur la nouvelle théorie des imaginaires, suivies d’une application à la démonstration d’un théorème d’analyse, „Annales de Mathématiques Pures et Appliquées” 5 (1814–1815), 197–209.

Bibliografia

Franciszek Leja: Funkcje zespolone. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1976, s. 105.

Źródła historyczne

Augustin Louis Cauchy: Cours d’Analyse de l’École Royale Polytechnique, 1^ère partie: Analyse Algébrique. Wyd. 1992. Paris: Éditions Jacques Gabay, 1821. ISBN 2-87647-053-5.
Leonhard Euler: Recherches sur les racines imaginaires des équations. T. 5. Berlin: 1751, s. 222–288, seria: Histoire de l’Académie Royale des Sciences et des Belles-Lettres de Berlin.
Carl Friedrich Gauss: Demonstratio nova theorematis omnem functionem algebraicam rationalem integram unius variabilis in factores reales primi vel secundi gradus resolvi posse. Helmstedt: C. G. Fleckeisen, 1799.
C. F. Gauss, “Another new proof of the theorem that every integral rational algebraic function of one variable can be resolved into real factors of the first or second degree”, 1815
HellmuthH. Kneser HellmuthH., Der Fundamentalsatz der Algebra und der Intuitionismus, t. 46, Mathematische Zeitschrift, 1940, s. 287–302, ISSN 0025-5874 .
MartinM. Kneser MartinM., Ergänzung zu einer Arbeit von Hellmuth Kneser über den Fundamentalsatz der Algebra, t. 177, Mathematische Zeitschrift, 1981, s. 285–287, ISSN 0025-5874 .
Karl Weierstrass: Neuer Beweis des Satzes, dass jede ganze rationale Function einer Veränderlichen dargestellt werden kann als ein Product aus linearen Functionen derselben Veränderlichen. 1891, s. 1085–1101.
Jeff Suzuki. Lagrange’s Proof of the Fundamental Theorem of Algebra. „The Matematical Association Of America Monthly”. 113, s. 705–714, October 2006.

Linki zewnętrzne

TomaszT. Idziaszek TomaszT., Kolorowanie wielomianów, „Delta”, październik 2008, ISSN 0137-3005 [dostęp 2022-07-19] . – inny dowód twierdzenia.
Piotr Stachura, Zasadnicze Twierdzenie Algebry, kanał „Khan Academy po polsku” na YouTube, 17 sierpnia 2017 [dostęp 2023-08-06].
Paweł Lubowiecki, Liczby zespolone cz. VIII. Zasadnicze twierdzenie algebry, Wojskowa Akademia Techniczna im. Jarosława Dąbrowskiego, kanał „Uczelnia WAT” na YouTube, 7 lutego 2024 [dostęp 2024-09-07].
Algebra, fundamental theorem of (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-04-23].

[epwn-1] 1 2 3 4 5 6 7 Algebry twierdzenie podstawowe, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-07-24] .

[2] Arkadiusz Męcel, Zera funkcji kwadratowych, pismo „Delta”, listopad 2012, deltami.edu.pl [dostęp 2023-08-06].

[3] Fund theorem of algebra [online], www-groups.dcs.st-and.ac.uk [dostęp 2016-04-04] .

[4] Hans Niels Jahnke: A history of analysis. Providence, RI: American Mathematical Society, 2003, s. 215-216. ISBN 0-8218-2623-9. OCLC 51607350.

[5] Jeff Miller, Fundamental theorem of algebra, [w:] Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (F) (ang.), MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews, mathshistory.st-andrews.ac.uk [dostęp 2023-08-06].

[6] J.R. d’Alembert, Recherches sur le calcul intégral, The Histoire de l’Académie des Sciences et des Belles-Lettres (1746) 182–192.

[7] J.R. Argand, Philosophie mathématique. Réflexions sur la nouvelle théorie des imaginaires, suivies d’une application à la démonstration d’un théorème d’analyse, „Annales de Mathématiques Pures et Appliquées” 5 (1814–1815), 197–209.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

Uwaga

Historia

O dowodach

Dowód oparty na twierdzeniu Liouville’a

Przykład innego dowodu

Lemat 1

Dowód

Lemat Cauchy’ego

Dowód

Lemat 2

Dowód

Lemat d’Alemberta-Arganda[6][7]

Dowód

Dowód zasadniczego twierdzenia algebry

Zobacz też

Przypisy

Bibliografia

Źródła historyczne

Linki zewnętrzne

Lemat d’Alemberta-Arganda^[6]^[7]