Postać Newtona wielomianu

Postać Newtona – jedna z metod przedstawiania wielomianu. Dla wielomianu stopnia ${\displaystyle n}$ wybiera się ${\displaystyle n+1}$ punktów ${\displaystyle x_{0},x_{1},\dots ,x_{n}}$ i buduje wielomian postaci:

${\displaystyle w(x)=a_{0}+\sum _{i=1}^{n}a_{i}\prod _{j=0}^{i-1}(x-x_{j})}$ ${\displaystyle =a_{0}+a_{1}(x-x_{0})+a_{2}(x-x_{1})(x-x_{0})+\ldots +a_{n}(x-x_{n-1})\cdots (x-x_{1})(x-x_{0})}$

Wielomiany Newtona mogą być używane do interpolowania dowolnych funkcji.

Procedura interpolacji jest następująca:

${\displaystyle x_{i}}$	${\displaystyle f(x_{i})}$
${\displaystyle x_{0}}$	${\displaystyle f(x_{0})}$
${\displaystyle x_{1}}$	${\displaystyle f(x_{1})}$
${\displaystyle x_{2}}$	${\displaystyle f(x_{2})}$
${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$
${\displaystyle x_{n}}$	${\displaystyle f(x_{n})}$

Uzupełniamy tabelkę dopisując kolejne kolumny różnicami dzielonymi:

${\displaystyle x_{i}}$	${\displaystyle f(x_{i})}$	${\displaystyle f[x_{i-1},x_{i}]}$
${\displaystyle x_{0}}$	${\displaystyle f(x_{0})}$
${\displaystyle x_{1}}$	${\displaystyle f(x_{1})}$	${\displaystyle f[x_{0},x_{1}]}$
${\displaystyle x_{2}}$	${\displaystyle f(x_{2})}$	${\displaystyle f[x_{1},x_{2}]}$
${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$
${\displaystyle x_{n}}$	${\displaystyle f(x_{n})}$	${\displaystyle f[x_{n-1},x_{n}]}$

Aż skończy się możliwość dalszego dopisywania:

${\displaystyle x_{i}}$	${\displaystyle f(x_{i})}$	${\displaystyle f[x_{i-1},x_{i}]}$	${\displaystyle f[x_{i-2},x_{i-1},x_{i}]}$	${\displaystyle \ldots }$	${\displaystyle f[x_{0},\dots ,x_{i}]}$
${\displaystyle x_{0}}$	${\displaystyle f(x_{0})}$
${\displaystyle x_{1}}$	${\displaystyle f(x_{1})}$	${\displaystyle f[x_{0},x_{1}]}$
${\displaystyle x_{2}}$	${\displaystyle f(x_{2})}$	${\displaystyle f[x_{1},x_{2}]}$	${\displaystyle f[x_{0},x_{1},x_{2}]}$
${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \ddots }$
${\displaystyle x_{n}}$	${\displaystyle f(x_{n})}$	${\displaystyle f[x_{n-1},x_{n}]}$	${\displaystyle f[x_{n-2},x_{n-1},x_{n}]}$	${\displaystyle \ldots }$	${\displaystyle f[x_{0},\dots ,x_{n}]}$

I używamy kolejnych liczb po przekątnej jako współczynników ${\displaystyle a_{i}.}$

Warto zauważyć, że przy implementacji znajdowania kolejnych wyrazów różnicowych nie musimy korzystać z macierzy (tablicy wielowymiarowej) – wystarczy nam jedynie zwykła tablica, pod warunkiem, że wyrazy będziemy obliczać „od dołu”.^[1]