Rugownik

Rugownik – typ funkcji, której argumentami są pary wielomianów lub – z innej perspektywy – ich współczynniki, co czyni rugownik funkcją wielu zmiennych; jest zdefiniowany wyznacznikiem opisanym niżej. Kluczową własnością rugownika jest to, że wynosi zero wtedy i tylko wtedy, gdy wielomiany te mają wspólny czynnik.

Rozpatrzmy dwa wielomiany w ciele liczbowym $K{:}$

F(x)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+\ldots +a_{n},

G(x)=b_{0}x^{m}+b_{1}x^{m-1}+b_{2}x^{m-2}+\ldots +b_{m}.

Rugownikiem tych wielomianów nazywa się wyznacznik stopnia $n+m$ postaci^[a]^[1]:

\mathrm {R} (F,G)={\begin{vmatrix}a_{0}&a_{1}&a_{2}&\dots &a_{n}&0&0&\dots &0\\0&a_{0}&a_{1}&\dots &a_{n-1}&a_{n}&0&\dots &0\\0&0&a_{0}&\dots &a_{n-2}&a_{n-1}&a_{n}&\dots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\dots &a_{0}&a_{1}&a_{2}&\dots &a_{n}\\b_{0}&b_{1}&b_{2}&\dots &b_{m}&0&0&\dots &0\\0&b_{0}&b_{1}&\dots &b_{m-1}&b_{m}&0&\dots &0\\0&0&b_{0}&\dots &b_{m-2}&b_{m-1}&b_{m}&\dots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\dots &b_{0}&b_{1}&b_{2}&\dots &b_{m}\end{vmatrix}}.

Przyjmuje się dodatkowo, że $\mathrm {R} (0,G)=\mathrm {R} (F,0)=0.$

Własności

Dla dowolnych wielomianów $F,G,H$ zachodzi:

$\mathrm {R} (F,G)=(-1)^{\deg F\cdot \deg G}\cdot \mathrm {R} (G,F),$
$\mathrm {R} (F\cdot H,G)=\mathrm {R} (F,G)\cdot \mathrm {R} (H,G),$
$\mathrm {R} (F,G)=0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $F$ i $G$ mają wspólny pierwiastek w algebraicznym domknięciu ciała $K$ .

Istnieją takie wielomiany $v,w,$ że $v\cdot F+w\cdot G=\mathrm {R} (F,G).$

Niech $F,G$ będą postaci

F(t)=(t-x_{1})(t-x_{2})\dots (t-x_{s}),

G(t)=(t-y_{1})(t-y_{2})\dots (t-y_{r}).

Wtedy $\mathrm {R} (F,G)=\prod _{i=1}^{s}\prod _{j=1}^{r}(x_{i}-y_{j})$ ^[b].

Zastosowanie

Rozwiązywanie układów dwóch równań z dwiema niewiadomymi

Rozpatrzmy układ równań wielomianowych $f(x,y)=0,g(x,y)=0;$ $f,g$ – niezerowe. Po uporządkowaniu składników wielomianów względem potęg $y$ uzyskujemy:

f_{0}(x)y^{s}+f_{1}(x)y^{s-1}+f_{2}(x)y^{s-2}+\ldots +f_{s}(x),

g_{0}(x)y^{t}+g_{1}(x)y^{t-1}+g_{2}(x)y^{t-2}+\ldots +g_{t}(x),

gdzie $f_{0},g_{0}$ są wielomianami niezerowymi. Można rozważyć rugownik:

\mathrm {R} (x)={\begin{vmatrix}f_{0}(x)&f_{1}(x)&f_{2}(x)&\dots &f_{s}(x)&0&0&\dots &0\\0&f_{0}(x)&f_{1}(x)&\dots &f_{s-1}(x)&f_{s}(x)&0&\dots &0\\0&0&f_{0}(x)&\dots &f_{s-2}(x)&f_{s-1}(x)&f_{s}(x)&\dots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\dots &f_{0}(x)&f_{1}(x)&f_{2}(x)&\dots &f_{s}(x)\\g_{0}(x)&g_{1}(x)&g_{2}(x)&\dots &g_{t}(x)&0&0&\dots &0\\0&g_{0}(x)&g_{1}(x)&\dots &g_{t-1}(x)&g_{t}(x)&0&\dots &0\\0&0&g_{0}(x)&\dots &g_{t-2}(x)&g_{t-1}(x)&g_{t}(x)&\dots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\dots &g_{0}(x)&g_{1}(x)&g_{2}(x)&\dots &g_{t}(x)\end{vmatrix}}.

Podobnie, po uporządkowaniu składników wielomianów względem potęg $x,$ tworzy się rugownik $\mathrm {S} (y).$ Można udowdnić, że gdy para $(a,b)$ jest rozwiązaniem układu równań $f(x,y)=0,g(x,y)=0,$ zachodzi $\mathrm {R} (a)=0$ oraz $\mathrm {S} (b)=0.$

Powyższe rozumowanie prowadzi do metody uzyskiwania rozwiązań układu równań. Jeśli $R,S$ są wielomianami niezerowymi, ich rozkład na czynniki pierwsze daje skończoną liczbę potencjalnych wartości $a_{1},\dots ,a_{k}$ odciętej i $b_{1},\dots ,b_{l}$ rzędnej rozwiązania. Wówczas pozostaje bezpośrednie sprawdzenie, które z par $(a_{i},b_{j})$ są rozwiązaniami układu równań.

Uwagi

↑ Współczynnik $a_{n},$ pojawiając się w wyznaczniku po raz ostatni, nie musi znajdować się bezpośrednio nad $b_{0}.$ Ich wzajemne położenie zależy od wartości $m,n.$
↑ Wzór ten może być traktowany jako definicja rugownika.

Przypisy

↑ rugownik, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2023-04-26] .

Bibliografia

Andrzej Mostowski, Marceli Stark: Elementy algebry wyższej. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1972, s. 300–318.

Linki zewnętrzne

Przemysław Koprowski, Rugownik – twierdzenie Sylvestera, kanał autorski na YouTube, 21 kwietnia 2021 [dostęp 2024-06-22].
Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Resultant, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2023-04-26].
Resultant (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-04-26].

[1] Współczynnik $a_{n},$ pojawiając się w wyznaczniku po raz ostatni, nie musi znajdować się bezpośrednio nad $b_{0}.$ Ich wzajemne położenie zależy od wartości $m,n.$

[3] Wzór ten może być traktowany jako definicja rugownika.

[epwn-2] rugownik, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2023-04-26] .

[a]

[1]

[b]