Implikacja rozmyta

Implikacja rozmyta jest funkcją ${\displaystyle I:[0,1]\times [0,1]\to [0,1].}$ Dla każdego ${\displaystyle x,y,z\in [0,1]}$ implikacja spełnia następujące warunki:

• (1) Jeżeli ${\displaystyle x\leqslant z,}$ to ${\displaystyle I(x,y)\geqslant I(z,y).}$
• (2) Jeżeli ${\displaystyle y\leqslant z,}$ to ${\displaystyle I(x,y)\leqslant I(x,z).}$
• (3) ${\displaystyle I(0,y)=1}$
• (4) ${\displaystyle I(x,1)=1}$
• (5) ${\displaystyle I(1,0)=0}$

Przykłady implikacji rozmytych

Nazwa	Postać
Fodora	${\displaystyle I(x,y)={\begin{cases}1,&x\leqslant y\\\max(1-x,y),&x>y\end{cases}}}$
Gödela	${\displaystyle I(x,y)={\begin{cases}1,&x\leqslant y\\y,&x>y\end{cases}}}$
Goguena	${\displaystyle I(x,y)=\min(y/x,1)}$
Kleene’a-Dienesa	${\displaystyle I(x,y)=\max(1-x,y)}$
Łukasiewicza	${\displaystyle I(x,y)=\min(1-x+y,1)}$
Reichenbacha	${\displaystyle I(x,y)=1-x+xy}$
Reschera	${\displaystyle I(x,y)={\begin{cases}1,&x\leqslant y\\0,&x>y\end{cases}}}$
Webera	${\displaystyle I(x,y)={\begin{cases}1,&x<0\\{y},&x=0\end{cases}}}$
Yagera	${\displaystyle I(x,y)={\begin{cases}1,&x=0\land y=0\\{y}^{x},&x>0\lor y>0\end{cases}}}$

W zastosowaniach często można spotkać implikację Zadeha ${\displaystyle I(x,y)=\max(1-x,\min(x,y)).}$ Wbrew nazwie funkcja ta nie spełnia własności (1), nie jest zatem implikacją.

• Jacek Łęski: Systemy neuronowo-rozmyte. Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 2008. Brak numerów stron w książce
• Michał Baczyński, B. Jayaram: Fuzzy implications. Berlin Heidelberg: Springer-Verlag, 2008. Brak numerów stron w książce