Kopula (matematyka)

Kopula^[1][2] (rzadziej kopuła^[3], ang. copula) – wykorzystywana w teorii prawdopodobieństwa i statystyce funkcja służąca do opisu i modelowania wielowymiarowej współzależności (korelacji) między zmiennymi losowymi. Formalnie kopula to wielowymiarowa dystrybuanta łącznego rozkładu prawdopodobieństwa, którego wszystkie rozkłady brzegowe są jednostajne w przedziale [0, 1].

Kluczową ideą kopuli jest oddzielenie zależności między zmiennymi losowymi od ich indywidualnych rozkładów, co umożliwia elastyczne modelowanie współzależności. Zgodnie z twierdzeniem Sklara dowolny wielowymiarowy rozkład łączny można zapisać przy użyciu jednowymiarowych rozkładów brzegowych i kopuli opisującej strukturę zależności między jednowymiarowymi zmiennymi.

Kopule są szeroko stosowane w matematyce finansowej do modelowania i minimalizacji ryzyka skrajnego^[4] oraz optymalizacji portfeli^[5].

W szczególności dwuwymiarową kopulą ${\displaystyle C\colon I^{2}\longrightarrow I}$ nazywamy funkcję spełniającą następujące warunki:

1. ${\displaystyle C\left(0,t\right)=C\left(t,0\right)=0,}$
2. ${\displaystyle C\left(1,t\right)=C\left(t,1\right)=t}$ dla wszystkich ${\displaystyle t\in I,}$
3. ${\displaystyle C(u_{2},v_{2})-C(u_{1},v_{2})-C(u_{2},v_{1})+C(u_{1},v_{1})\geqslant 0}$

dla wszystkich ${\displaystyle u_{1},u_{2},v_{1},v_{2}\in I,}$ takich że ${\displaystyle u_{2}\geqslant u_{1}}$ i ${\displaystyle v_{2}\geqslant v_{1}.}$

Niech ${\displaystyle H\left(x,y\right)}$ będzie dwuwymiarową funkcją dystrybuanty z dystrybuantami brzegowymi ${\displaystyle F(x)}$ i ${\displaystyle G(y).}$ Wtedy istnieje kopula C spełniająca warunek:

${\displaystyle H(x,y)=C\left(F(x),G(y)\right).}$

Ponadto jeżeli F i G są ciągłe, wówczas C jest jednoznaczna.

• Copula Wiki (ang.)