Niezmiennik j

Niezmiennik ${\displaystyle j}$, inaczej ${\displaystyle j}$-niezmiennik – pojęcie matematyczne wprowadzone przez Kleina, definiowalne na dwa sposoby:

• czysto algebraiczny, związany z krzywymi eliptycznymi,
• analityczny, jako specyficzna funkcja modularna.

Niezmiennik ${\displaystyle j,}$ zapisywany ${\displaystyle j(\tau )}$ definiuje się dla wartości zespolonych ${\displaystyle \tau }$ z górnej półpłaszczyzny zespolonej, tzn. takich, dla których ${\displaystyle \Im \tau >0.}$ Używając jako punktu wyjścia funkcji theta Jacobiego, ${\displaystyle j}$ można zdefiniować w następujący sposób:

${\displaystyle j(\tau )=32{\frac {[\vartheta (0;\tau )^{8}+\vartheta _{01}(0;\tau )^{8}+\vartheta _{10}(0;\tau )^{8}]^{3}}{[\vartheta (0;\tau )\vartheta _{01}(0;\tau )\vartheta _{10}(0;\tau )]^{8}}},}$

gdzie ${\displaystyle \vartheta ,}$ ${\displaystyle \vartheta _{01}}$ i ${\displaystyle \vartheta _{10}}$ to, odpowiednio, funkcja theta Jacobiego oraz dwie funkcje pomocnicze theta. Inna możliwa definicja niezmiennika ${\displaystyle j}$ to:

${\displaystyle j(\tau )={\frac {g_{2}^{3}}{\Delta }},}$

gdzie ${\displaystyle g_{2}}$ to ‘drugi niezmiennik modularny’ zdefiniowany w terminach szeregu Eisensteina (dokładnie, jako ${\displaystyle 60G_{2},}$ gdzie ${\displaystyle G_{2}}$ to drugi wyraz tego szeregu), zaś ${\displaystyle \Delta }$ to wyróżnik modularny.

Niech

${\displaystyle E:y^{2}+a_{1}xy+a_{3}y=x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{4}x+a_{6}}$

będzie krzywą eliptyczną nad dowolnym ciałem. Zdefiniujmy:

${\displaystyle {\begin{array}{l}b_{2}=a_{1}^{2}+4a_{2},&b_{4}=a_{1}a_{3}+2a_{4},\\b_{6}=a_{3}^{2}+4a_{6},&b_{8}=a_{1}^{2}a_{6}-a_{1}a_{3}a_{4}+a_{2}a_{3}^{2}+4a_{2}a_{6}-a_{4}^{2},\\c_{4}=b_{2}^{2}-24b_{4},&c_{6}=-b_{2}^{3}+36b_{2}b_{4}-216b_{6}\end{array}}}$

oraz

${\displaystyle \Delta _{E}=-b_{2}^{2}b_{8}+9b_{2}b_{4}b_{6}-8b_{4}^{3}-27b_{6}^{2}}$

(wyróżnik krzywej).

${\displaystyle j}$-niezmiennik takiej krzywej definiujemy jako:

${\displaystyle j_{E}={\frac {c_{4}^{3}}{\Delta }}.}$

W szczególnym przypadku, gdy charakterystyka ciała bazowego jest różna od 2 i 3, definicję tę możemy uprościć do postaci:

${\displaystyle j_{E}=1728{\frac {c_{4}^{3}}{c_{4}^{3}-c_{6}^{2}}}.}$

${\displaystyle j,}$ rozumiany jako funkcja zespolona, jest tzw. absolutnym niezmiennikiem modularnym, co oznacza, że spełnia zależności:

${\displaystyle j(\tau +1)=j(\tau ),}$

${\displaystyle j\left(-{\frac {1}{\tau }}\right)=j(\tau ).}$