Obszar normalny

Obszar (w ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$) normalny względem osi OX – podzbiór D płaszczyzny z wyróżnionym kartezjańskim układem współrzędnych, który jest ograniczony dwoma wykresami funkcji ciągłych oraz prostymi równoległymi do osi OY.

Zbiór ${\displaystyle D\subseteq \mathbb {R} ^{2}}$ jest obszarem normalnym względem osi OX, jeśli^[1]

${\displaystyle D=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:\;a\leqslant x\leqslant b;\;f(x)\leqslant y\leqslant g(x)\},}$

gdzie ${\displaystyle f,g\colon [a,b]\to \mathbb {R} }$ są funkcjami ciągłymi, ${\displaystyle a<b.}$

Proste ${\displaystyle x=a}$ i ${\displaystyle x=b}$ ograniczają obszar po prawej i lewej stronie, a krzywe ${\displaystyle y=g(x)}$ i ${\displaystyle y=f(x)}$ odpowiednio od góry i dołu.

Pole ${\displaystyle |D|}$ obszaru normalnego ${\displaystyle D\subseteq \mathbb {R} ^{2}}$ dane jest wzorem

${\displaystyle |D|=\int \limits _{a}^{b}(g(x)-f(x))\mathrm {d} x}$

Dowód:

${\displaystyle f(x)}$ jest ciągła w przedziale ${\displaystyle [a,b],}$ zatem spełnia założenia twierdzenia Weierstrassa, więc ${\displaystyle \forall x\in [a,b]}$ zachodzi ${\displaystyle f(x)>m}$ dla pewnego ${\displaystyle m\in \mathbb {R} .}$

Jeżeli ${\displaystyle m<0}$ to przesuwamy obszar ${\displaystyle D}$ o wektor ${\displaystyle [0,-m].}$

Otrzymany obszar ${\displaystyle D'=D}$ bo przesunięcie o wektor (czyli translacja) jest izometrią.

Oznaczmy ${\displaystyle f_{1}(x)=f(x)+m}$ i ${\displaystyle g_{1}(x)=g(x)+m.}$

Pole tego obszaru normalnego jest równe różnicy dwóch trapezów krzywoliniowych:

${\displaystyle |D|=\int \limits _{a}^{b}f_{1}(x)\mathrm {d} x-\int \limits _{a}^{b}g_{1}(x)\mathrm {d} x=\int \limits _{a}^{b}(f_{1}(x)-g_{1}(x))\mathrm {d} x=\int \limits _{a}^{b}(f(x)-g(x))\mathrm {d} x,}$

ponieważ ${\displaystyle f_{1}(x)}$ i ${\displaystyle g_{1}(x)}$ różnią się od ${\displaystyle f_{1}(x)}$ i ${\displaystyle g_{1}(x)}$ tylko o stałą.

q.e.d.

Zbiór ${\displaystyle V\subseteq \mathbb {R} ^{3}}$ jest obszarem normalnym względem płaszczyzny xy jeśli istnieje obszar normalny ${\displaystyle V'\subseteq \mathbb {R} ^{2}}$ oraz funkcje ograniczone i ciągłe ${\displaystyle f,g\colon V'\to \mathbb {R} ,\ f\leqslant g,}$ takie, że^[2]:

${\displaystyle V=\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}:(x,y)\in V'\;z\in [f(x,y),g(x,y)]\}.}$

Analogicznie definiuje się obszar normalny względem innych płaszczyzn.