Parametr spowolnienia

Parametr spowolnienia – bezwymiarowa wielkość przyspieszenia Wszechświata występująca w teorii Wielkiego Wybuchu. Zdefiniowany jest on następująco:

${\displaystyle q=-{\frac {a{\ddot {a}}}{{\dot {a}}^{2}}},}$

gdzie ${\displaystyle a}$ jest funkcją czasu nazywaną czynnikiem skali. Kropki nad ${\displaystyle a}$ oznaczają odpowiednio pierwszą i drugą pochodną tej funkcji po czasie.

Parametr spowolnienia związany jest też z gęstością masy we Wszechświecie. Związek ten można przedstawić w poniższy sposób:

${\displaystyle \rho ={\frac {3}{4\pi }}q\left({\frac {\dot {a}}{a}}\right)^{2}.}$

Natomiast gęstość krytyczna Wszechświata jest definiowana jako:

${\displaystyle \rho _{c}={\frac {3}{8\pi }}\left({\frac {\dot {a}}{a}}\right)^{2}.}$

W ten sposób można znaleźć związek pomiędzy obiema gęstościami a parametrem spowolnienia. Jeżeli przez ${\displaystyle \Omega }$ oznaczymy stosunek prawdziwej gęstości Wszechświata do gęstości krytycznej, to otrzymamy:

${\displaystyle \Omega ={\frac {\rho }{\rho _{c}}}=2q.}$

Zatem mierząc parametr spowolnienia ${\displaystyle q,}$ możemy obliczyć gęstość ${\displaystyle \rho .}$ Znając te wielkości, można z kolei wydedukować wielkoskalową strukturę Wszechświata:

• gdy ${\displaystyle \Omega <1}$ – Wszechświat otwarty,
• gdy ${\displaystyle \Omega >1}$ – Wszechświat zamknięty,
• jeśli natomiast ${\displaystyle \Omega \approx 1}$ w taki sposób, że w jednych miejscach wartość ${\displaystyle \Omega }$ jest lekko powyżej 1, w innych zaś lekko poniżej 1, to nie obowiązuje model Wszechświata Friedmana.

Oznaczmy teraz:

${\displaystyle {\frac {\dot {a}}{a}}=H(t)}$

jako stałą Hubble’a.

Możemy znaleźć związek pomiędzy czynnikiem skali ${\displaystyle a}$ w chwili ${\displaystyle t_{0}}$ a parametrem spowolnienia w tej samej chwili ${\displaystyle t_{0},}$ rozwijając ${\displaystyle a(t)}$ wokół ${\displaystyle t_{0}}$ w szereg Taylora:

${\displaystyle a(t)=a(t_{0})\left[1+H(t_{0})(t-t_{0})-{\frac {1}{2}}q(t_{0})H^{2}(t_{0}){(t-t_{0})}^{2}+\dots \right].}$

Powyższy wzór przybiera bardziej dogodną postać gdy skorzysta się z pojęcia przesunięcia ku czerwieni:

${\displaystyle 1+z={\frac {a(t_{0})}{a(t)}}.}$

Otrzymamy wtedy:

${\displaystyle z(t)=H(t_{0})(t_{0}-t)+\left(1+{\frac {1}{2}}q(t_{0})\right)H^{2}(t_{0})(t_{0}-t)^{2}+\dots }$

Bywa, że interesuje nas informacja o czasie ${\displaystyle t,}$ w którym galaktyki wysłały swoje światło, wtedy powyższą formułę przedstawiamy jako:

${\displaystyle t_{0}-t={\frac {z(t)}{H(t_{0})}}-\left(1+{\frac {1}{2}}q(t_{0})\right){\frac {z^{2}(t)}{H(t_{0})}}+\dots }$