Punkt eksponowany

Punkt eksponowany – punkt ${\displaystyle x_{0}}$ domkniętego podzbioru wypukłego ${\displaystyle K}$ przestrzeni liniowo-topologicznej ${\displaystyle X}$ o tej własności, że istnieje ciągły funkcjonał liniowy ${\displaystyle f\in X^{*},}$ który jest ograniczony z góry na ${\displaystyle K,}$ tj.

${\displaystyle \sup _{x\in K}\mathrm {Re} \,\langle f,x\rangle <\infty ,}$

oraz ${\displaystyle x_{0}}$ jest jedynym takim punktem w ${\displaystyle K,}$ że^[1]:

${\displaystyle \sup _{x\in K}\mathrm {Re} \,\langle f,x\rangle =\mathrm {Re} \,\langle f,x_{0}\rangle ,}$

tj. ${\displaystyle x_{0}}$ jest jedynym punktem ${\displaystyle K}$ w którym (część rzeczywista) ${\displaystyle f}$ osiąga swoje maksimum na ${\displaystyle K.}$ Innymi słowy, punkt ${\displaystyle x_{0}}$ jest eksponowany, gdy istnieje taka hiperpłaszczyzna podpierająca ${\displaystyle H}$ zbioru ${\displaystyle K,}$ że^[2]:

${\displaystyle H\cap K=\{x_{0}\}.}$

Zbiór punktów eksponowanych danego zbioru wypukłego ${\displaystyle K}$ oznaczany bywa symbolem ${\displaystyle \exp K.}$

Pojęcie zostało wprowadzone w 1935 roku przez Stefana Straszewicza^[3].

Niech ${\displaystyle K}$ będzie domkniętym i wypukłym podzbiorem przestrzeni liniowo-topologicznej. Każdy punkt eksponowany zbioru ${\displaystyle K}$ jest również punktem ekstremalnym^[1]. Przeciwna implikacja nie zachodzi nawet na płaszczyźnie. Istotnie, niech ${\displaystyle K}$ będzie sumą prostokąta ${\displaystyle [-1,1]\times [-1,0]}$ oraz domkniętego koła o środku w zerze i promieniu 1. Wówczas punkty ${\displaystyle (-1,0),(1,0)}$ są ekstremalne, ale nie są eksponowane, gdyż (jedyne) hiperpłaszczyzny podpierające zawierające te punkty zawierają także odpowiednie boki prostokąta ${\displaystyle [-1,1]\times [-1,0]}$ (zob. grafika obok). W skończonych wymiarach, każdy punkt ekstremalny zwartego zbioru wypukłego ${\displaystyle K}$ w przestrzeni euklidesowej jest granicą ciągu punktów eksponowanych (twierdzenie Straszewicza). W szczególności,

${\displaystyle K={\overline {\mathrm {conv} }}\,\exp \,K.}$^[2]

Niech ${\displaystyle K}$ będzie domkniętym i wypukłym podzbiorem przestrzeni liniowo-topologicznej. Punkt ${\displaystyle x_{0}\in X}$ jest mocno eksponowany, gdy istnieje taki funkcjonał ${\displaystyle f\in X^{*},}$ że dla każdego ciągu ${\displaystyle (x_{n})}$ elementów ${\displaystyle K,}$ jeżeli

${\displaystyle \mathrm {Re} \,\langle f,x_{n}\rangle \to \sup _{x\in K}\mathrm {Re} \,\langle f,x\rangle ,}$

to ${\displaystyle x_{n}\to x_{0}.}$

Zbiór punktów mocno eksponowanych zbioru ${\displaystyle K}$ oznaczany bywa symbolem ${\displaystyle \operatorname {stexp} K.}$

Każdy punkt mocno eksponowany jest eksponowany. W przypadku, gdy zbiór ${\displaystyle K}$ jest dodatkowo zwarty, to każdy punkt eksponowany jest też mocno eksponowany^[4]. Każdy punkt ekstremalny kuli jednostkowej przestrzeni ℓ_∞ jest *-słabo eksponowany, tj. funkcjonał ${\displaystyle f}$ można dobrać z przestrzeni ℓ₁^[5]. Lindenstrauss i Phelps wykazali, że w każdej ośrodkowej przestrzeni refleksywnej da się wprowadzić normę równoważną, której kula jednostkowa ma co najwyżej przeliczalnie wiele punktów mocno eksponowanych^[6]

• M. Fabian, P. Habala, P. Hájek, V. Montesinos, V. Zizler, Banach Space Theory: The Basis for Linear and Nonlinear Analysis, CMS Books in Math. Springer, 2011
• Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. New York: Springer-Verlag, 1998, seria: Graduate Texts in Mathematics 183.
• Rolf Schneider: Convex Bodies: The Brunn-Minkowski Theory. Cambridge University Press, 1993, seria: Encyclopedia of Mathematics and its Applications. ISBN 978-0521352208.