Różniczka zupełna

Pochodna, różniczka, czasami: różniczka zupełna funkcji ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ w punkcie ${\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{n}}$ to przekształcenie liniowe ${\displaystyle df(a)\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ będące najlepszym liniowym przybliżeniem przyrostu funkcji ${\displaystyle f}$ w tym punkcie. Różniczkę zupełną da się przedstawić w postaci

${\displaystyle df(a)=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a)dx^{i},}$

gdzie ${\displaystyle dx^{i}:=d\pi ^{i}}$ to pochodne rzutowań na ${\displaystyle i}$-tą współrzędną względem bazy standardowej ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ tzn. funkcji ${\displaystyle \pi ^{i}\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ,\ i=1,\dots ,n}$ danych wzorami

${\displaystyle \pi ^{i}(x_{1},\dots ,x_{n}):=x_{i}.}$

Różniczka (tzn. przekształcenie dane wzorem ${\displaystyle x\mapsto df(x)}$) jest przykładem ${\displaystyle 1}$-formy różniczkowej.

Niech ${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}$ będzie zbiorem otwartym. Niech ${\displaystyle f\colon U\to \mathbb {R} }$ będzie funkcją różniczkowalną w punkcie ${\displaystyle a\in U.}$ Wówczas różniczka zupełna funkcji ${\displaystyle f}$ w punkcie ${\displaystyle a}$ to jej pochodna w punkcie ${\displaystyle a,}$ czyli przekształcenie liniowe ${\displaystyle df(a)\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ,}$ które w pewnym sensie jest najlepszym liniowym przybliżeniem przyrostu

${\displaystyle f(a+h)-f(a).}$

W szczególności można napisać

${\displaystyle f(a+h)-f(a)\approx df(a)(h)}$

dla dowolnego ${\displaystyle h\in \mathbb {R} ^{n}}$ takiego, że ${\displaystyle a+h\in U.}$

Pochodna ${\displaystyle df(a)}$ ma macierz w bazie standardowej ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle [df(a)]=\left[{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(a)\ldots {\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(a)\right].}$

Wynika z tego, że pochodna ${\displaystyle df(a)}$ jest dana wzorem

${\displaystyle df(a)(h_{1},\dots ,h_{n})=\left[{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(a)\ldots {\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(a)\right]{\begin{bmatrix}h_{1}\\\vdots \\h_{n}\end{bmatrix}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a)h_{i}.}$

W szczególności rzutowania ${\displaystyle \pi ^{i}\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ,\ i=1,\dots ,n}$ na ${\displaystyle i}$-tą współrzędną względem bazy standardowej ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ tzn. funkcje dane wzorami

${\displaystyle \pi ^{i}(x_{1},\dots ,x_{n}):=x_{i}}$

są różniczkowalne i ich pochodne są dane wzorami

${\displaystyle d\pi ^{i}(a)(h_{1},\dots ,h_{n})=h_{i},\ i=1,\dots ,n}$

dla dowolnego ${\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{n}.}$

Widzimy, że różniczkę można zapisać w postaci

${\displaystyle df(a)=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a)d\pi ^{i}}$

(dla prosty oznaczeń piszemy ${\displaystyle d\pi ^{i}}$ zamiast ${\displaystyle d\pi ^{i}(a)}$), którą nazywamy postacią kanoniczną. Oznaczając pochodne ${\displaystyle d\pi ^{i}}$ przez ${\displaystyle dx^{i},}$ można powyższemu wzorowi nadać klasyczną formę

${\displaystyle df(a)=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a)dx^{i}.}$

Różniczka funkcji ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} }$ różniczkowalnej w punkcie ${\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{3}}$ ma postać kanoniczną

${\displaystyle df(a)={\frac {\partial f}{\partial x}}(a)dx+{\frac {\partial f}{\partial y}}(a)dy+{\frac {\partial f}{\partial z}}(a)dz,}$

gdzie:

${\displaystyle dx(h_{1},h_{2},h_{3})=h_{1},\quad dy(h_{1},h_{2},h_{3})=h_{2},\quad dz(h_{1},h_{2},h_{3})=h_{3}}$

(dla uproszczenia piszemy ${\displaystyle dx}$ zamiast ${\displaystyle dx(a)}$ itd.).

Z definicji różniczki wynika, że za jej pomocą można przybliżać przyrost funkcji. Z własności różniczki wynika, że to przybliżenie ma postać

${\displaystyle \Delta f:=f(a+\Delta x)-f(a)\approx \sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a)\Delta x_{i}}$

dla dowolnego ${\displaystyle \Delta x=(\Delta x_{1},\dots ,\Delta x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}$ takiego, że ${\displaystyle a+\Delta x}$ należy do dziedziny ${\displaystyle f.}$ To przybliżenie jest tym lepsze im mniejsze co do normy jest ${\displaystyle \Delta x.}$

Trochę nadużywając notacji można ${\displaystyle dx^{i}}$ we wzorze

${\displaystyle df(a)=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a)dx^{i}}$

interpretować jako przyrosty argumentów funkcji ${\displaystyle f.}$ Oznaczenie ${\displaystyle dx^{i}}$ odzwierciedla wtedy to, że zakłada się, że są one małe. W szczególności, trochę nadużywając notacji, można napisać, że np.

${\displaystyle f(x+dx,y+dy)-f(x,y)\approx df(x,y)={\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y)dx+{\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)dy.}$

Niech ${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}$ będzie zbiorem otrwartym. Różniczkowalna funkcja ${\displaystyle f\colon U\to \mathbb {R} }$ indukuje odwzorowanie ${\displaystyle df}$ z ${\displaystyle U}$ w ${\displaystyle {\cal {L(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} ),}}}$ tj. w przestrzeń przekształceń liniowych z ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ w ${\displaystyle \mathbb {R} }$ dane wzorem

${\displaystyle x\mapsto df(x).}$

Przekształcenie ${\displaystyle df}$ nazywamy pochodną funkcji ${\displaystyle f}$ albo różniczką funkcji ${\displaystyle f.}$ Przekształcenie ${\displaystyle df}$ spełnia definicję ${\displaystyle 1}$-formy. Różniczka jest zatem ${\displaystyle 1}$-formą na zbiorze otwartym ${\displaystyle U.}$ Ogólna ${\displaystyle 1}$-forma na zbiorze otwartym ${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}$ ma postać kanoniczną

${\displaystyle \omega =\sum _{i=1}^{n}f_{i}dx^{i},}$

gdzie współczynniki ${\displaystyle f_{i}}$ to dowolne funkcje rzeczywiste i niekonicznie muszą być pochodnymi cząstkowymi innej funkcji. Ogólna ${\displaystyle 2}$-forma na zbiorze otwartym w ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ma postać kanoniczną

${\displaystyle \omega =f\ dx\wedge dy+g\ dx\wedge dz+h\ dy\wedge dz,}$

gdzie ${\displaystyle \wedge }$ to iloczyn zewnętrzny. Ogólna ${\displaystyle k}$-forma na zbiorze otwartym w ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ma postać

${\displaystyle \omega =\sum _{1\leqslant i_{1}<\ldots <i_{k}\leqslant n}f_{i_{1},\dots ,i_{k}}\ dx^{i_{1}}\wedge \ldots \wedge dx^{i_{k}}.}$

O formie różniczkowej mówi się z definicji, że jest klasy ${\displaystyle C^{r}}$ lub klasy ${\displaystyle C^{\infty }}$ jeżeli takimi są funkcje ${\displaystyle f_{i_{1},\dots ,i_{k}}.}$

Pochodną zewnętrzną ${\displaystyle k}$-formy ${\displaystyle \omega }$ nazywa się następującą ${\displaystyle (k+1)}$ formę

${\displaystyle d\omega$ :=\sum _{1\leqslant i_{1}<\ldots <i_{k}\leqslant n}df_{i_{1},\dots ,i_{k}}\wedge dx^{i_{1}}\wedge \ldots \wedge dx^{i_{k}}.}

O formie różniczkowej która jest postaci ${\displaystyle \omega =d\eta }$ dla pewnej formy ${\displaystyle \eta }$ mówi się, że jest dokładna. O formie różniczkowej, której pochodna zewnętrzna znika mówi się, że jest zamknięta. Z twierdzenia Schwarza i własności iloczynu zewnętrznego wynika, że

${\displaystyle d(d\omega )\equiv 0}$

o ile tylko funkcje ${\displaystyle f_{i_{1},\dots ,i_{k}}}$ są klasy co najmniej ${\displaystyle C^{2},}$ a zatem każda forma dokładna (i klasy co najmniej ${\displaystyle C^{1}}$) jest zamknięta. Odwrotna implikacja nie musi być prawdziwa, ale jak wynika z Lematu Poincarégo jest prawdziwa na zbiorach otwartych i gwiaździstych.

W szczególności z definicji pochodnej zewnętrznej wynika, że różniczka (zupełna) ${\displaystyle df}$ jest pochodną zewnętrzną ${\displaystyle 0}$-formy ${\displaystyle \omega =f,}$ czyli zwykłej funkcji. Wynika stąd, że różniczka (zupełna) jest dokładna i zamknięta.

Ponieważ różniczka ${\displaystyle df}$ jest ${\displaystyle 1}$-formą to można rozważać jej całkę jako całkę z formy po ${\displaystyle 1}$-wymiarowej rozmaitości różniczkowej, czyli po krzywej.

${\displaystyle \int _{\gamma }df.}$

Ogólne twierdzenie Stokesa mówi, że całka ${\displaystyle (n-1)}$-formy ${\displaystyle \omega }$ po brzegu ${\displaystyle \partial M}$ ${\displaystyle n}$-wymiarowej rozmaitości różniczkowej ${\displaystyle M}$ jest równa (brzeg jest wówczas rozmaitością różniczkową ${\displaystyle (n-1)}$ wymiarową)

${\displaystyle \int _{\partial M}\omega =\int _{M}d\omega .}$

Krzywa zamknięta ${\displaystyle \partial M}$ jest brzegiem pewnej 2-wymiarowej rozmaitości różniczkowej, czyli powierzchni w ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$ Ponieważ różniczka (zupełna) jest zamknięta to z twierdzenia Stokesa dostajemy

${\displaystyle \int _{\partial M}df=\int _{M}d(df)=\int _{M}0=0,}$

a zatem całka z różniczki (zupełnej) po krzywej zamkniętej znika.

Rozpatrzmy dwa dowolne punkty ${\displaystyle A,B\in \mathbb {R} ^{n}}$ oraz dwie dowolne krzywe je łączące – krzywą ${\displaystyle \gamma _{1}}$ biegnącą z punku ${\displaystyle A}$ do punktu ${\displaystyle B}$ oraz krzywą ${\displaystyle \gamma _{2}}$ biegnącą z punktu ${\displaystyle B}$ do punktu ${\displaystyle A.}$ Krzywe ${\displaystyle \gamma _{1}}$ i ${\displaystyle \gamma _{2}}$ tworzą razem 1-wymiarową rozmaitość różniczkową kawałkami gładką dla której prawdziwe jest Ogólne Twierdzenie Stokesa. Z dyskusji w poprzednim rozdziale dostajemy

${\displaystyle \int _{\gamma _{1}}df+\int _{\gamma _{2}}df=0,}$

czyli

${\displaystyle \int _{\gamma _{1}}df=-\int _{\gamma _{2}}df.}$

Zamieniając parametryzację krzywej ${\displaystyle \gamma _{2}}$ na przeciwną, dostajemy

${\displaystyle \int _{\gamma _{1}}df=\int _{-\gamma _{2}}df.}$

Oznacza to, że całka od punktu ${\displaystyle A}$ do ${\displaystyle B}$ z ${\displaystyle df}$ nie zależy od drogi całkowania.

Tw. Jeżeli mamy dane wyrażenie Pfaffa postaci

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{f_{i}(q_{1},q_{2},\dots ,q_{n})dq_{i}},}$

gdzie ${\displaystyle f_{i}(q_{1},q_{2},\dots ,q_{n}),i=1,\dots ,n}$ – dane funkcje zmiennych ${\displaystyle q_{1},q_{2},\dots ,q_{n},}$

to jest ono różniczką zupełną ${\displaystyle df}$ pewnej funkcji ${\displaystyle f(q_{1},q_{2},\dots ,q_{n}),}$ jeżeli dla każdego ${\displaystyle i,j}$ zachodzi:

${\displaystyle {\frac {\partial f_{i}(q_{1},q_{2},\dots ,q_{n})}{\partial q_{j}}}={\frac {\partial f_{j}(q_{1},q_{2},\dots ,q_{n})}{\partial q_{i}}}.}$

Dowód:

Wychodząc z wyrażenia na różniczkę zupełną ${\displaystyle df,}$ widzimy, że funkcje ${\displaystyle f_{i}(q_{1},q_{2},\dots ,q_{n})}$ mają postacie

${\displaystyle f_{i}(q_{1},q_{2},\dots ,q_{n})={\frac {\partial f(q_{1},q_{2},\dots ,q_{n})}{\partial q_{i}}}}$

i powyższy warunek na istnienie różniczki zupełnej funkcji ${\displaystyle f(q_{1},q_{2},\dots ,q_{n})}$ sprowadza się do żądania, by równe były pochodne cząstkowe drugiego rzędu

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f(q_{1},q_{2},\dots ,q_{n})}{\partial q_{j}\partial q_{i}}}={\frac {\partial ^{2}f(q_{1},q_{2},\dots ,q_{n})}{\partial q_{i}\partial q_{j}}}}$

– wymóg ten jest zawsze spełniony, jeżeli istnieją powyższe pochodne, cnd.

• forma różniczkowa
• forma wieloliniowa
• pochodna funkcji wektorowej wielu zmiennych

• Michael Spivak: Analiza matematyczna na rozmaitościach. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2006. Brak numerów stron w książce

• 1. Pochodne cząstkowe; 2. Różniczki, 2.1. Różniczka zupełna; Filip A. Wudarski na: www.fizyka.umk.pl (Materiay MMF)