Forma wieloliniowa

Forma ${\displaystyle k}$-liniowa, funkcjonał ${\displaystyle k}$-liniowy, albo ${\displaystyle k}$-tensor na przestrzeni liniowej ${\displaystyle V}$ nad ciałem ${\displaystyle K}$ to funkcja postaci

${\displaystyle F\colon V^{k}\to K,}$

liniowa względem wszystkich swoich argumentów. Formy ${\displaystyle k}$-liniowe stanowią uogólnienie form liniowych i dwuliniowych oraz jeden ze sposobów sformalizowania pojęcia tensora. Odgrywają bardzo ważną rolę w geometrii różniczkowej gdzie z reguły za ich pomocą definiuje się formy różniczkowe i (pośrednio) całkę z formy różniczkowej po rozmaitości.

Niech ${\displaystyle V}$ będzie przestrzenią liniową nad ciałem ${\displaystyle K.}$ Funkcję ${\displaystyle F\colon V^{k}\to K,}$ która jest liniowa względem każdego ze swoich argumentów, tzn.

${\displaystyle F(v_{1},\dots ,v_{i}+v_{i}',\dots ,v_{k})=F(v_{1},\dots ,v_{i},\dots ,v_{k})+F(v_{1},\dots ,v_{i}',\dots ,v_{k})}$

oraz

${\displaystyle F(v_{1},\dots ,\alpha v_{i},\dots ,v_{k})=\alpha F(v_{1},\dots ,v_{i},\dots ,v_{k})}$

dla dowolnych ${\displaystyle v_{1},\dots ,v_{k},v_{i}'\in V,\ \alpha \in K}$ i ${\displaystyle i=1,\dots ,k}$ nazywamy formą ${\displaystyle k}$-liniową, funkcjonałem ${\displaystyle k}$-liniowym lub krótko: ${\displaystyle k}$-formą lub ${\displaystyle k}$-tensorem na ${\displaystyle V}$^[1].

Zbiór ${\displaystyle k}$-tensorów na ${\displaystyle V}$ oznaczamy ${\displaystyle T^{k}(V).}$

W ${\displaystyle T^{k}(V)}$ na przestrzeni liniowej ${\displaystyle V}$ nad ciałem ${\displaystyle K}$ wprowadzamy strukturę przestrzeni liniowej definiując działania punktowo:

${\displaystyle (F+G)(x):=F(x)+G(x),}$

${\displaystyle (\alpha F)(x):=\alpha F(x)}$

dla ${\displaystyle x\in V^{k}}$ i ${\displaystyle \alpha \in K.}$

Bardzo ważnym działaniem na formach wieloliniowych jest iloczyn tensorowy form wieloliniowych ${\displaystyle \otimes \colon T^{k}(V)\times T^{l}(V)\to T^{k+l}(V)}$ dany wzorem

${\displaystyle (F\otimes G)(v_{1},\dots ,v_{k},v_{k+1},\dots ,v_{k+l}):=F(v_{1},\dots ,v_{k})\cdot G(v_{k+1},\dots ,v_{k+l})}$

dla ${\displaystyle v_{1},\dots ,v_{k+l}\in V.}$ Działanie to będziemy w dalszym ciągu nazywać krótko iloczynem tensorowym.

Iloczyn tensorowy jest łączny:

${\displaystyle (F\otimes G)\otimes H=F\otimes (G\otimes H),}$

i rozdzielny względem dodawania:

${\displaystyle F\otimes (G+H)=F\otimes G+F\otimes H}$

${\displaystyle (F+G)\otimes H=F\otimes H+G\otimes H}$

nie jest jednak przemienny:

${\displaystyle F\otimes G\neq G\otimes F.}$

Istotnie, załóżmy, że przestrzeń liniowa ${\displaystyle V}$ ma wymiar ${\displaystyle n\geqslant 2}$ i rozpatrzmy rzutowania ${\displaystyle e^{i}}$ na ${\displaystyle i}$-tą współrzędną względem bazy ${\displaystyle (e_{i})_{i=1}^{n}}$ tzn. funkcje ${\displaystyle e^{i}\colon V\to K,i=1,\dots ,n}$ dane wzorem

${\displaystyle e^{i}(v)=e^{i}\left(\sum _{j=1}^{n}v_{j}e_{j}\right):=v_{i}.}$

Rzutowania ${\displaystyle e^{i}}$ są ${\displaystyle 1}$-formami, ma więc dla nich sens iloczyn tensorowy. Mamy

${\displaystyle e^{1}\otimes e^{2}(e_{1},e_{2})=e^{1}(e_{1})e^{2}(e_{2})=1\cdot 1\neq 0\cdot 0=e^{2}(e_{1})e^{1}(e_{2})=e^{2}\otimes e^{1}(e_{1},e_{2}).}$

Załóżmy, że przestrzeń liniowa ${\displaystyle V}$ nad ${\displaystyle K}$ jest ${\displaystyle n}$-wymiarowa i rozpatrzmy rzutowania na ${\displaystyle i}$-tą współrzędną względem bazy ${\displaystyle (e_{i})_{i=1}^{n}}$ przestrzeni ${\displaystyle V,}$ tzn. funkcje ${\displaystyle e^{i}\colon V\to K}$ postaci

${\displaystyle e^{i}(v)=e^{i}\left(\sum _{j=1}^{n}v_{j}e_{j}\right):=v_{i}.}$

Rzutowania te są ${\displaystyle 1}$-formami, ma zatem sens ich iloczyn tensorowy. Utwórzmy iloczyny

${\displaystyle e^{i_{1}}\otimes \ldots \otimes e^{i_{k}}}$

dla pewnych indeksów ${\displaystyle 1\leqslant i_{1},\dots ,i_{k}\leqslant n.}$ Iloczyny te stanowią bazę przestrzeń ${\displaystyle T^{k}(V).}$ W szczególności wynika z tego, że każdą ${\displaystyle k}$-formę na ${\displaystyle V}$ można jednoznacznie przedstawić w postaci

${\displaystyle F=\sum _{i_{1},\dots ,i_{k}=1}^{n}r_{i_{1},\dots ,i_{k}}e^{i_{1}}\otimes \ldots \otimes e^{i_{k}}}$

dla pewnych skalarów ${\displaystyle r_{i_{1},\dots ,i_{k}}\in K.}$

Rozpatrzmy przestrzeń ${\displaystyle T^{k}(W).}$ Każde przekształcenie liniowe ${\displaystyle L\colon V\to W}$ indukuje odwzorowanie ${\displaystyle L^{*}\colon T^{k}(W)\to T^{k}(V)}$ dane wzorem

${\displaystyle L^{*}F(v_{1},\dots ,v_{k}):=F(Lv_{1},\dots ,Lv_{k}),}$

dla ${\displaystyle F\in T^{k}(W),}$ które nazywamy cofnięciem formy. ${\displaystyle L^{*}F}$ jest już ${\displaystyle k}$-tensorem na ${\displaystyle V.}$

W matematyce i fizyce szczególne znaczenie mają formy antysymetryczne, gdyż pola tensorów antysymetrycznych to jedyne pola tensorowe, które można całkować.

(1) Zdefiniujmy ${\displaystyle F\colon \mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }$ wzorem

${\displaystyle F(x,y)=F((x_{1},x_{2}),(y_{1},y_{2})):=x_{1}y_{1}+2x_{1}y_{2}+3x_{2}y_{1}+4x_{2}y_{2}.}$

${\displaystyle F}$ jest ${\displaystyle 2}$-tensorem. Możemy go zapisać w postaci

${\displaystyle {\begin{aligned}&F((x_{1},x_{2}),(y_{1},y_{2}))\\={}&e^{1}(x)e^{1}(y)+2e^{1}(x)e^{2}(y)+3e^{2}(x)e^{1}(y)+4e^{2}(x)e^{2}(y)\\={}&e^{1}\otimes e^{1}(x,y)+2e^{1}\otimes e^{2}(x,y)+3e^{2}\otimes e^{1}(x,y)+4e^{2}\otimes e^{2}(x,y),\end{aligned}}}$

gdzie ${\displaystyle e^{1},e^{2}\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }$ to rzutowania zdefiniowane

${\displaystyle e^{1}(x_{1},x_{2}):=x_{1},\quad e^{2}(x_{1},x_{2}):=x_{2}.}$

Widzimy, że ${\displaystyle F}$ możemy zapisać

${\displaystyle F=e^{1}\otimes e^{1}+2e^{1}\otimes e^{2}+3e^{2}\otimes e^{1}+4e^{2}\otimes e^{2}.}$

(2) Iloczyn skalarny ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle \colon V\times V\to \mathbb {R} }$ to funkcja taka, że

${\displaystyle \langle \alpha v_{1}+\beta v_{2},v\rangle =\alpha \langle v_{1},v\rangle +\beta \langle v_{2},v\rangle ,}$

${\displaystyle \langle v,\alpha v_{1}+\beta v_{2}\rangle =\alpha \langle v,v_{1}\rangle +\beta \langle v,v_{2}\rangle .}$

Wynika z tego, że iloczyn skalarny jest ${\displaystyle 2}$-tensorem na ${\displaystyle V.}$

(3) Definicja aksjomatyczna wyznacznika mówi, że wyznacznik to funkcja ${\displaystyle \det \colon (\mathbb {R} ^{n})^{n}\to \mathbb {R} }$ taka, że

${\displaystyle \det(v_{1},\dots ,v_{i}+v_{i}',\dots ,v_{n})=\det(v_{1},\dots ,v_{i},\dots ,v_{n})+\det(v_{1},\dots ,v_{i}',\dots ,v_{n}),}$

${\displaystyle \det(v_{1},\dots ,\alpha v_{i},\dots ,v_{n})=\alpha \det(v_{1},\dots ,v_{i},\dots ,v_{n}),}$

${\displaystyle \det(v_{1},\dots ,v_{i},\dots ,v_{j},\dots ,v_{n})=-\det(v_{1},\dots ,v_{j},\dots ,v_{i},\dots ,v_{n}),}$

Gdzie ${\displaystyle v_{1},v_{2},\dots ,v_{n}}$ oznaczają tutaj kolumny macierzy ${\displaystyle (v_{1},v_{2}\dots ,v_{n}).}$ Oznacza to, że wyznacznik jest ${\displaystyle n}$-tensorem na ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$ Co więcej, jest to tensor antysymetryczny.

(4) Niech ${\displaystyle V}$ będzie przestrzenią liniową z pewną bazą ${\displaystyle (e_{i})_{i=1}^{n}.}$ Obliczmy ${\displaystyle e^{i}\wedge e^{j}.}$ Z definicji iloczynu zewnętrznego mamy

${\displaystyle {\begin{aligned}&(e^{i}\wedge e^{j})(v_{1},v_{2})\\={}&{\frac {2!}{1!1!}}\mathrm {Alt} \left(e^{i}\otimes e^{j}\right)(v_{1},v_{2})\\={}&2!{\frac {1}{2!}}\left(e^{i}\otimes e^{j}(v_{1},v_{2})-e^{i}\otimes e^{j}(v_{2},v_{1})\right)\\={}&e^{i}\otimes e^{j}(v_{1},v_{2})-e^{j}\otimes e^{i}(v_{1},v_{2}).\end{aligned}}}$

Widzimy, że

${\displaystyle e^{i}\wedge e^{j}=e^{i}\otimes e^{j}-e^{j}\otimes e^{i}.}$

W szczególności wynikają z tego przydatne związki

${\displaystyle e^{i}\wedge e^{j}=-e^{j}\wedge e^{i},\quad e^{i}\wedge e^{i}=0.}$

• forma różniczkowa
• iloczyn tensorowy przestrzeni liniowych
• tensor

• L Górniewicz, R.S. Ingarden: Analiza matematyczna dla fizyków. Wydawnictwo Naukowe UMK. Brak numerów stron w książce
• M. Spivak: Analiza matematyczna na rozmaitościach. Brak numerów stron w książce