Relacje Greena

Relacje Greena – pięć relacji równoważności definiowanych na dowolnej półgrupie, związanych z pojęciem ideału głównego. Relacje te oznaczane są symbolami ${\displaystyle {\mathcal {L,\,R,\,D,\,J}}}$ i ${\displaystyle {\mathcal {H}}.}$ Relacje ${\displaystyle {\mathcal {L,\,R}}}$ i ${\displaystyle {\mathcal {J}}}$ to relacje generowania tego samego ideału, odpowiednio lewo-, prawo- i obustronnego. Relacja ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ jest przecięciem ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ i ${\displaystyle {\mathcal {R}}.}$ Relacja ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ to złożenie tych relacji. Relacje te zostały wprowadzone przez Jamesa A. Greena w 1951 roku.

Niech ${\displaystyle S}$ będzie półgrupą i ${\displaystyle a,\,b\in {S}.}$ Przez ${\displaystyle S^{1}=S\cup \{1\}}$ oznaczamy półgrupę ${\displaystyle S}$ z jedynką dołączoną, jeśli jej wcześniej nie było.

Wtedy

• ${\displaystyle a{\mathcal {L}}b\iff S^{1}a=S^{1}b}$ (${\displaystyle a}$ i ${\displaystyle b}$ generują ten sam lewostronny ideał główny);
• ${\displaystyle a{\mathcal {R}}b\iff aS^{1}=bS^{1}}$ (${\displaystyle a}$ i ${\displaystyle b}$ generują ten sam prawostronny ideał główny);
• ${\displaystyle {\mathcal {D}}={\mathcal {L}}\circ {\mathcal {R}}={\mathcal {R}}\circ {\mathcal {L}}}$^[1] (relacja ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ jest złożeniem relacji ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ i ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$);
• ${\displaystyle a{\mathcal {J}}b\iff S^{1}aS^{1}=S^{1}bS^{1}}$ (${\displaystyle a}$ i ${\displaystyle b}$ generują ten sam obustronny ideał główny);
• ${\displaystyle {\mathcal {H}}={\mathcal {L}}\cap {\mathcal {R}}.}$

Okazuje się, że wszystkie z tych relacji są relacjami równoważności. (Jest to natychmiastowe w przypadku ${\displaystyle {\mathcal {L}},\,{\mathcal {R}},\,{\mathcal {J}}}$ i ${\displaystyle {\mathcal {H}}.}$ Przypadek ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ jest nieco trudniejszy i dowód można znaleźć na przykład w [2] – zob. sekcję Bibliografia).

Niech ${\displaystyle a\in S}$ i ${\displaystyle S}$ niech będzie półgrupą. Wtedy oznaczamy:

• ${\displaystyle \mathrm {L} _{a}=\left\{x\in S|\,x{\mathcal {L}}a\right\}}$ jest klasą abstrakcji elementu ${\displaystyle a}$ w relacji ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

i analogicznie:

• ${\displaystyle \mathrm {R} _{a}=\left\{x\in S|\,x{\mathcal {R}}a\right\},}$
• ${\displaystyle \mathrm {D} _{a}=\left\{x\in S|\,x{\mathcal {D}}a\right\},}$
• ${\displaystyle \mathrm {J} _{a}=\left\{x\in S|\,x{\mathcal {J}}a\right\}}$ i
• ${\displaystyle \mathrm {H} _{a}=\left\{x\in S|\,x{\mathcal {H}}a\right\}}$

są klasami abstracji elementu ${\displaystyle a}$ odpowiednio w relacjach ${\displaystyle {\mathcal {R}},\,{\mathcal {D}},\,{\mathcal {J}}}$ i ${\displaystyle {\mathcal {H}}.}$

• W dowolnej grupie ${\displaystyle G}$ mamy
  • ${\displaystyle {\mathcal {H}}={\mathcal {L}}={\mathcal {R}}={\mathcal {D}}={\mathcal {J}}=G\times G.}$
• W nieskończonej półgrupie cyklicznej ${\displaystyle \left(\mathbb {N} ,+\right)}$ mamy
  • ${\displaystyle {\mathcal {H}}={\mathcal {L}}={\mathcal {R}}={\mathcal {D}}={\mathcal {J}}=\left\{(x,x)|\,x\in \mathbb {N} \right\},}$
• Ten sam wzór jest prawdziwy dla półgrupy ${\displaystyle \left(\mathbb {N} ,\cdot \right),}$
• W pełnej półgrupie transformacji zbioru ${\displaystyle X}$ oznaczanej symbolem ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{X}}$ mamy
  • ${\displaystyle {\mathcal {L}}=\left\{(\alpha ,\beta )\in {\mathcal {T}}_{X}\times {\mathcal {T}}_{X}|\,X\alpha =X\beta \right\},}$^[2]
  • ${\displaystyle {\mathcal {R}}=\left\{(\alpha ,\beta )\in {\mathcal {T}}_{X}\times {\mathcal {T}}_{X}|\,\pi _{\alpha }=\pi _{\beta }\right\},}$ gdzie ${\displaystyle \pi _{\phi }}$ oznacza jądro ${\displaystyle \phi }$ dla dowolnego ${\displaystyle \phi \in {\mathcal {T}}_{X},}$
  • ${\displaystyle {\mathcal {D}}={\mathcal {J}}=\left\{(\alpha ,\beta )\in {\mathcal {T}}_{X}\times {\mathcal {T}}_{X}|\,|X\alpha |=|X\beta |\right\}.}$
• Analogiczne wzory zachodzą dla półgrupy transformacji liniowych przestrzeni ${\displaystyle V}$ oznaczanej symbolem ${\displaystyle {\mathcal {LT}}(V).}$
  • ${\displaystyle {\mathcal {L}}=\left\{(A,B)\in {\mathcal {LT}}(V)\times {\mathcal {LT}}(V)|\,VA=VB\right\},}$
  • ${\displaystyle {\mathcal {R}}=\left\{(A,B)\in {\mathcal {LT}}(V)\times {\mathcal {LT}}(V)|\,\ker A=\ker B\right\},}$
  • ${\displaystyle {\mathcal {D}}={\mathcal {J}}=\left\{(A,B)\in {\mathcal {LT}}(V)\times {\mathcal {LT}}(V)|\dim VA=\dim VB\right\}.}$

Dla dowolnej półgrupy ${\displaystyle S}$ istnieją naturalne porządki na ${\displaystyle S/{\mathcal {L}},\,S/{\mathcal {R}}}$ i ${\displaystyle S/{\mathcal {J}}}$ zadane przez zawieranie ideałów odpowiadających klasom:

• ${\displaystyle \mathrm {L} _{a}\leqslant \mathrm {L} _{b}\iff S^{1}a\subseteq S^{1}b,}$
• ${\displaystyle \mathrm {R} _{a}\leqslant \mathrm {R} _{b}\iff aS^{1}\subseteq bS^{1}}$

oraz

• ${\displaystyle \mathrm {J} _{a}\leqslant \mathrm {J} _{b}\iff S^{1}aS^{1}\subseteq S^{1}bS^{1}.}$

Okazuje się, że zdefiniowane w ten sposób relacje są relacjami porządku.

Jeżeli ${\displaystyle S/{\mathcal {L}},\,S/{\mathcal {R}}}$ lub ${\displaystyle S/{\mathcal {J}}}$ spełniają następujący warunek:

każdy niepusty podzbiór zawiera element minimalny,

to mówimy, że ${\displaystyle S}$ spełnia odpowiednio ${\displaystyle {\min }_{\mathrm {L} },\,{\min }_{\mathrm {R} }}$ lub ${\displaystyle {\min }_{\mathrm {J} }.}$ Jeżeli półgrupa spełnia zarówno ${\displaystyle {\min }_{\mathrm {L} },}$ jak i ${\displaystyle {\min }_{\mathrm {R} },}$ to zachodzi równość ${\displaystyle {\mathcal {D}}={\mathcal {J}}.}$

• [1] Clifford, Preston, The Algebraic Theory of Semigroups, Volume 1, 1961, American Mathematical Society.
• [2] Howie, An Introduction to Semigroup Theory 1976, Academic Press.