Rozmaitość różniczkowa zanurzona w przestrzeni euklidesowej

Rozmaitość różniczkowa (w ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$), czasem: rozmaitość różniczkowa zanurzona w ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ – podzbiór ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ który lokalnie, tzn. w otoczeniu każdego punktu, wygląda jak ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$ (mówiąc ściślej: jak zbiór otwarty w ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$) dla pewnego ${\displaystyle k\leqslant n,}$ ponadto nie ma „kantów”. Liczba ${\displaystyle k}$ jest taka sama dla każdego punktu rozmaitości i nazywa się ją wymiarem rozmaitości różniczkowej. Rozmaitości różniczkowe (zanurzone w ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$) stanowią uogólnienie zbiorów otwartych, krzywych i powierzchni w ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$ Pojawiają się w sposób naturalny w wielu zagadnieniach matematyki czystej. Np. metoda mnożników Lagrange’a matematycznie sprowadza się do szukania ekstremum pewnej funkcji zdefiniowanej na rozmaitości różniczkowej.

Dla funkcji pomiędzy rozmaitościami możliwe jest zdefiniowanie różniczkowalności i pochodnej. Dzięki temu możliwe jest uprawianie rachunku różniczkowego na rozmaitościach. Poprzez wprowadzeniu tzw. form różniczkowych możliwe jest także uprawianie rachunku całkowego na rozmaitościach.

Rozmaitości różniczkowe zanurzone w ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ są wystarczające na potrzeby wielu zagadnień matematyki, nie są jednak wystarczające na potrzeby nowoczesnej fizyki. Z tego powodu wprowadza się ogólne, abstrakcyjne rozmaitości różniczkowe, które niekoniecznie muszą być podzbiorami ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ i mogą mieć znacznie bardziej złożoną naturę.

Podzbiór ${\displaystyle M\subset \mathbb {R} ^{n}}$ nazywa się ${\displaystyle k}$-wymiarową rozmaitością różniczkową (w ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$), jeżeli dla każdego ${\displaystyle p\in M}$ istnieje zbiór otwarty ${\displaystyle V\subset \mathbb {R} ^{n}}$ zawierający ${\displaystyle p,}$ zbiór otwarty ${\displaystyle W\subset \mathbb {R} ^{k}}$ oraz funkcja różnowartościowa i klasy ${\displaystyle C^{\infty }}$ ${\displaystyle g\colon W\to \mathbb {R} ^{n}}$ taka, że

(1) ${\displaystyle g(W)=V\cap M.}$

(2) Pochodna ${\displaystyle dg(x)}$ ma rząd ${\displaystyle k}$ dla każdego ${\displaystyle x\in W.}$

(3) Funkcja ${\displaystyle g^{-1}:g(W)\to \mathbb {R} ^{k}}$ jest ciągła^[1].

Funkcję ${\displaystyle g}$ z definicji rozmaitości różniczkowej nazywa się parametryzacją w otoczeniu punktu ${\displaystyle p.}$ Funkcję do niej odwrotną ${\displaystyle f:=g^{-1}}$ nazywa się układem współrzędnych w otoczeniu punktu ${\displaystyle p}$^[2]. Parę ${\displaystyle (V\cap M,f)}$ nazywa się mapą w otoczeniu punktu ${\displaystyle p\in V\cap M.}$ Zbiór ${\displaystyle V\cap M}$ nazywa się dziedziną mapy ${\displaystyle (V\cap M,f).}$ Mapy oznacza się zwykle ${\displaystyle (U,\varphi ),\ (V,\psi )}$ itd.

Na ${\displaystyle k}$-wymiarowej rozmaitości różniczkowej funkcje ${\displaystyle x^{i}:=\pi ^{i}\circ \varphi \colon U\to \mathbb {R} ,\ i=1,\dots ,k,}$ gdzie ${\displaystyle \pi ^{i}\colon \mathbb {R} ^{k}\to \mathbb {R} }$ oznacza rzutowanie na ${\displaystyle i}$-tą współrzędną względem bazy standardowej ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k},}$ tzn. funkcję daną wzorem

${\displaystyle \pi ^{i}(x_{1},\dots ,x_{k}):=x_{i},}$

nazywa się współrzędnymi wyznaczonymi przez mapę ${\displaystyle (U,\varphi ).}$

Zbiór map ${\displaystyle \{(U_{i},\varphi _{i})\}_{i\in I},}$ których dziedziny pokrywają całe ${\displaystyle M,}$ nazywa się atlasem.

Mając dwie mapy ${\displaystyle (U_{1},\varphi _{1}),\ (U_{2},\varphi _{2}),\ U_{1}\cap U_{2}\neq \emptyset ,}$ można jedne współrzędne przeliczać na drugie za pomocą odwzorowań zamiany współrzędnych ${\displaystyle \varphi _{2}\circ \varphi _{1}^{-1}\colon \varphi _{1}(U_{1}\cap U_{2})\to \varphi _{2}(U_{1}\cap U_{2})}$ i ${\displaystyle \varphi _{1}\circ \varphi _{2}^{-1}\colon \varphi _{2}(U_{1}\cap U_{2})\to \varphi _{1}(U_{1}\cap U_{2}).}$

Przestrzeń styczna do rozmaitości pozwala uogólnić pojęcie pochodnej funkcji ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ na przypadek funkcji pomiędzy rozmaitościami. Niech ${\displaystyle M_{1}\subset \mathbb {R} ^{n_{1}},\ M_{2}\subset \mathbb {R} ^{n_{2}}}$ będą rozmaitościami różniczkowymi. Rozpatrzmy funkcję ${\displaystyle f\colon M_{1}\to M_{2}.}$ Gdyby ${\displaystyle M_{1},\ M_{2}}$ były zwykłymi, dowolnymi zbiorami, to niemożliwe byłoby różniczkowanie ${\displaystyle f}$ nawet pomimo że ${\displaystyle M_{1},\ M_{2}}$ to podzbiory ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ ponieważ pochodna jest zawsze zdefiniowana dla funkcji zdefiniowanej na zbiorze otwartym. Jednakże, ponieważ ${\displaystyle M_{1},\ M_{2}}$ są rozmaitościami różniczkowymi i mają dodatkową strukturę, to można uogólnić pojęcie pochodnej funkcji ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ na przypadek funkcji pomiędzy ${\displaystyle M_{1}}$ i ${\displaystyle M_{2}.}$

(1) Odwzorowanie styczne funkcji ${\displaystyle f}$ w punkcie ${\displaystyle p}$ nazywa się też pochodną funkcji ${\displaystyle f}$ w punkcie ${\displaystyle p}$ albo różniczką funkcji ${\displaystyle f}$ w punkcie ${\displaystyle p}$ i oznacza ${\displaystyle Df(p),\ df(p)}$ lub podobnie.

(2) ${\displaystyle \varphi _{2}\circ f\circ \varphi _{1}^{-1}}$ jest już funkcją z ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k_{1}}}$ w ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k_{2}}}$ może więc być różniczkowane w zwykły sposób.

(3) ${\displaystyle d(\varphi _{2}\circ f\circ \varphi _{1}^{-1})(\varphi _{1}(p))(w)}$ jest wektorem w ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k_{2}}.}$ Przekształcenie liniowe ${\displaystyle d\varphi _{2}^{-1}(\varphi _{2}(f(p)))}$ przenosi ten wektor w ${\displaystyle T_{f(p)}M_{2}.}$

(4) W szczególnym przypadku gdy ${\displaystyle M_{1},\ M_{2}}$ są zbiorami otwartymi, to posługując się mapami ${\displaystyle (M_{1},\mathrm {id} _{M_{1}}),\ (M_{2},\mathrm {id} _{M_{1}})}$ powracamy do zwykłej definicji pochodnej.

(5) Odwzorowanie styczne spełnia regułę łańcuchową. Jeżeli ${\displaystyle f\colon M_{1}\to M_{2}}$ jest różniczkowalne w punkcie ${\displaystyle p,}$ a ${\displaystyle g\colon M_{2}\to M_{3}}$ jest różniczkowalne w punkcie ${\displaystyle f(p)}$ to różniczkowalne jest złożenie ${\displaystyle g\circ f}$ i

${\displaystyle T_{p}(g\circ f)=T_{f(p)}g\circ T_{p}f..}$

(6) Jeżeli ${\displaystyle f\colon M\to \mathbb {R} }$ jest różniczkowalne, to licząc odwzorowanie styczne dostajemy

${\displaystyle T_{p}f(v)=T_{p}f\left(\sum _{j=1}^{k}v_{j}\partial _{j}\right)=\sum _{i=1}^{k}{\frac {\partial (f\circ \varphi ^{-1})}{\partial x_{i}}}(\varphi (p))v_{i}.}$

(7) W szczególności dla współrzędnych wyznaczonych przez mapę ${\displaystyle x^{i}:=\pi ^{i}\circ \varphi }$ dostajemy

${\displaystyle T_{p}x^{i}(v)=T_{p}x^{i}\left(\sum _{j=1}^{k}v_{j}\partial _{j}\right)=v_{i}.}$

Wynika z tego, że odwzorowania styczne ${\displaystyle T_{p}x^{i}}$ stanowią bazę dualną do bazy naturalnej dla mapy ${\displaystyle (U,\varphi ).}$ W bazie tej możemy odwzorowanie styczne funkcji ${\displaystyle f\colon M\to \mathbb {R} }$ zapisać

${\displaystyle T_{p}f=\sum _{i=1}^{k}{\frac {\partial (f\circ \varphi ^{-1})}{\partial x_{i}}}(\varphi (p))T_{p}x^{i}.}$

(8) Powyższy wzór zapisuje się zwykle w następującej postaci, ponieważ pozwala to nadać wielu klasycznym wzorom klasyczny wygląd

${\displaystyle df(p)=\sum _{i=1}^{k}{\frac {\partial (f\circ \varphi ^{-1})}{\partial x_{i}}}(\varphi (p))dx^{i}}$

(Dla uproszczenia piszemy ${\displaystyle dx^{i}}$ zamiast ${\displaystyle dx^{i}(p)}$).

Pole tensorowe na rozmaitości różniczkowej ${\displaystyle M}$ to funkcja ${\displaystyle t\colon M\to \bigcup _{p\in M}T_{s}^{r}(T_{p}M)}$ taka, że ${\displaystyle t(p)\in T_{s}^{r}(T_{p}M)}$ dla każdego ${\displaystyle p\in M,}$ gdzie ${\displaystyle T_{s}^{r}(T_{p}M)}$ oznacza przestrzeń liniową tensorów typu ${\displaystyle (r,s).}$ Innymi słowy pole tensorowe to funkcja, którą punktom z rozmaitości przypisuje tensor na przestrzeni stycznej do rozmaitości w tym punkcie.

Szczególne znaczenie mają antysymetryczne kowariantne pola tensorowe, czyli formy różniczkowe, ponieważ to jedyne pola tensorowe, które można całkować.

Mówimy, że dyfeomorfizm ${\displaystyle \Phi \colon U\to V}$ zbiorów otwartych w ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ zachowuje orientację jeżeli

${\displaystyle \det[d\Phi (x)]>0}$

dla każdego ${\displaystyle x\in U}$ i że zmienia orientację na przeciwną jeżeli

${\displaystyle \det[d\Phi (x)]<0}$

dla każdego ${\displaystyle x\in U.}$

Powiemy, że atlas ${\displaystyle A=\{(U_{i},\varphi _{i})_{i\in I}\}}$ jest zorientowany jeżeli dla dowolnych dwóch map ${\displaystyle (U_{1},\varphi _{i}),\ (U_{2},\varphi _{2}),\ U_{1}\cap U_{2}\neq \emptyset }$ należących do atlasu ${\displaystyle A}$ odwzorowanie zamiany współrzędnych ${\displaystyle \varphi _{2}\circ \varphi _{1}^{-1}\colon \varphi _{1}(U_{1}\cap U_{2})\to \varphi _{2}(U_{1}\cap U_{2})}$ zachowuje orientację.

Rozmaitość różniczkową ${\displaystyle M}$ nazywamy orientowalną jeżeli istnieje na niej atlas zorientowany.

Mówimy, że dwa atlasy ${\displaystyle A_{1},\ A_{2}}$ na ${\displaystyle M}$ są zgodnie zorientowane jeżeli ich suma ${\displaystyle A_{1}\cup A_{2}}$ jest atlasem zorientowanym. Relacja zgodnego zorientowana jest relacją równoważności w rodzinie atlasów na ${\displaystyle M}$ i w związku z tym wyznacza podział atlasów na klasy abstrakcji. Te klasy abstrakcji nazywa się orientacjami rozmaitości ${\displaystyle M.}$ Parę: rozmaitość różniczkową ${\displaystyle M}$ wraz z orientacją nazywa się rozmaitością różniczkową zorientowaną.

Rozmaitości różniczkowe z brzegiem są nieznacznym uogólnieniem rozmaitości różniczkowych. Są potrzebne po to, żeby dało się sformułować Ogólne twierdzenie Stokesa.

Rozmaitości różniczkowe (zanurzone) w ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ są wystarczające na potrzeby wielu działów matematyki: analizy matematycznej, teorii optymalizacji, różniczkowych równań cząstkowych, nie są jednak wystarczające na potrzeby nowoczesnej fizyki. W fizyce rozmaitość różniczkowa modeluje czasoprzestrzeń jednakże użycie rozmaitości różniczkowych (zanurzonych) w ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ dla ${\displaystyle n>4}$ rodziłoby wiele pytań:

(a) Dlaczego nie obserwujemy dodatkowych wymiarów?

(b) Jak wykryć dodatkowe wymiary?

(c) Ile wynosi ${\displaystyle n}$?

Itd. Z tego powodu rozmaitości różniczkowe (zanurzone) w ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ trzeba uogólnić na potrzeby fizyki. Robi się to „wymazując” odwołanie do ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ w definicji rozmaitości różniczkowej. Rozmaitość różniczkową definiuje się jako po prostu przestrzeń Hausdorffa (niekoniecznie podzbiór ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$) wraz ze zbiorem map na rozmaitości, czyli atlasem.

Takie ogólne rozmaitości mogą mieć znacznie bardziej skomplikowaną naturę. Poprzednie definicje przestrzeni stycznej i pochodnej funkcji ${\displaystyle f\colon M_{1}\to M_{2}}$ tracą sens. Teraz przestrzeń styczną ${\displaystyle T_{p}M}$ w punkcie ${\displaystyle p\in M}$ definiuje się jako zbiór krzywych przechodzących przez punkt ${\displaystyle p}$ tzn. funkcji postaci ${\displaystyle \gamma$ :(-\epsilon ,\epsilon )\to M} takich, że ${\displaystyle \gamma (0)=p,}$ przy czym utożsamia się ze sobą krzywe, które po przeniesieniu do ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ za pomocą układu współrzędnych ${\displaystyle \varphi }$ mają równy wektor styczny w zerze, tzn. dla których^[4]

${\displaystyle \left.{\frac {d}{dt}}(\varphi \circ \gamma _{1})\right|_{t=0}=\left.{\frac {d}{dt}}(\varphi \circ \gamma _{2})\right|_{t=0}.}$

Mówiąc ściślej wektory styczne definiuje się jako klasy abstrakcji względem relacji równoważności ${\displaystyle \sim }$ zdefiniowanej powyższą równością. Ta relacja równoważności nie zależy od wyboru układu współrzędnych ${\displaystyle \varphi .}$

Funkcja ${\displaystyle \Theta _{\varphi }\colon T_{p}M\to \mathbb {R} ^{n}}$ dana wzorem

${\displaystyle \Theta _{\varphi }([\gamma ]_{\sim }):=\left.{\frac {d}{dt}}(\varphi \circ \gamma )\right|_{t=0}}$

jest bijekcją i pozwala przenieść strukturę przestrzeni liniowej z ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ do ${\displaystyle T_{p}M}$ tzn. dodawanie i mnożenie przez skalar wektorów stycznych definiuje się

${\displaystyle [\gamma _{1}]_{\sim }+[\gamma _{2}]_{\sim }:=\Theta _{\varphi }^{-1}(\Theta _{\varphi }([\gamma _{1}]_{\sim })+\Theta _{\varphi }([\gamma _{2}]_{\sim }))}$

${\displaystyle \alpha \cdot [\gamma ]_{\sim }:=\Theta _{\varphi }^{-1}(\alpha \cdot \Theta _{\varphi }([\gamma ]_{\sim }))}$

Za pomocą ${\displaystyle \Theta _{\varphi }}$ można także zdefiniować pochodną funkcji postaci ${\displaystyle f\colon M_{1}\to M_{2}}$ tzn. funkcji pomiędzy rozmaitościami.

Mimo różnic idea w przypadku ogólnych rozmaitości różniczkowych pozostaje taka sama.

(1) Zbiór otwarty ${\displaystyle U}$ w ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ jest trywialnym przykładem ${\displaystyle n}$-wymiarowej rozmaitości różniczkowej. W jego przypadku wystarczy atlas złożony tylko z jednej mapy ${\displaystyle (U,\mathrm {id_{U}} ),}$ gdzie ${\displaystyle \mathrm {id_{U}} }$ jest identycznością na ${\displaystyle U,}$ czyli funkcją ${\displaystyle \mathrm {id} _{U}\colon U\to \mathbb {R} ^{n}}$ daną wzorem

${\displaystyle \mathrm {id} _{U}(x):=x.}$

W szczególności ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ jest ${\displaystyle n}$-wymiarową rozmaitością różniczkową.

(2) Niech ${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}$ będzie zbiorem otwartym. Wykres funkcji ${\displaystyle f\colon U\to \mathbb {R} ^{m}}$ tzn. zbiór

${\displaystyle \mathrm {graf} f:=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{n+m};\ y=f(x)\}}$

jest dosyć trywialną ${\displaystyle n}$-wymiarową rozmaitością różniczkową w ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+m}}$ o ile funkcja ${\displaystyle f}$ jest klasy ${\displaystyle C^{\infty }.}$ W jej wypadku wystarczy atlas złożony tylko z jednej mapy ${\displaystyle (\mathrm {graf} f,\varphi ),}$ gdzie ${\displaystyle \varphi }$ jest dane wzorem

${\displaystyle \varphi (x,y):=x.}$

(3) Najprostszą nietrywialną rozmaitością różniczkową jest okrąg jednostkowy ${\displaystyle M:=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2};\ x^{2}+y^{2}=1\}.}$ W tym wypadku potrzebne są już co najmniej dwie parametryzacje i dwa układy współrzędnych. Pierwszą parametryzację można zdefiniować jako ${\displaystyle \varphi _{1}^{-1}:(-\pi ,\pi )\to \mathbb {R} ^{2},}$

${\displaystyle \varphi _{1}^{-1}(\phi ):=(\cos \phi ,\sin \phi ).}$

Parametr ${\displaystyle \phi }$ jest kątem mierzonym od osi ${\displaystyle x,}$ przy czym punktom poniżej osi ${\displaystyle x}$ przypisujemy ujemny kąt. Ta parametryzacja wystarcza do sparametryzowania całego ${\displaystyle M}$ z wyjątkiem punktu ${\displaystyle (-1,0).}$ W jego okolicach potrzebna jest jakaś inna parametryzacja.

Układ współrzędnych ${\displaystyle \varphi _{1}\colon M\setminus \{(-1,0)\}\to \mathbb {R} }$ jest dany wzorem

${\displaystyle \varphi _{1}(x,y)={\begin{cases}\operatorname {arctg} \left({\frac {y}{x}}\right)&{\text{w prawej połowie okręgu,}}\\{\frac {\pi }{2}}&{\text{gdy }}(x,y)=(0,1),\\\pi +\operatorname {arctg} \left({\frac {y}{x}}\right)&{\text{w górnej lewej ćwiartce}},\\-{\frac {\pi }{2}},&{\text{gdy }}(x,y)=(0,-1),\\\operatorname {arctg} \left({\frac {y}{x}}\right)-\pi &{\text{w dolnej lewej ćwiartce.}}\end{cases}}}$

Powyższy układ współrzędnych nie pokrywa punktu ${\displaystyle (-1,0).}$ W jego otoczeniu trzeba wybrać inną parametryzację i układ współrzędnych. Np. ${\displaystyle \varphi _{2}^{-1}:\left(-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right)\to \mathbb {R} ^{2}}$ dane wzorem

${\displaystyle \varphi _{2}^{-1}(\phi ):=(-\cos \phi ,\sin \phi )}$

oraz ${\displaystyle \varphi _{2}:\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2};\ x^{2}+y^{2}=1,\ x<0\}\to \mathbb {R} }$ dane wzorem

${\displaystyle \varphi _{2}(x,y)=-\operatorname {arctg} \left({\frac {y}{x}}\right).}$

(4) Niepusty przedział ${\displaystyle (a,b)}$ jako zbiór otwarty w ${\displaystyle \mathbb {R} }$ jest rozmaitością różniczkową. Można zadać pytanie czy przedział ${\displaystyle [a,b]}$ jest także rozmaitością różniczkową. Odpowiedź jest przecząca. Przedziału ${\displaystyle [a,b]}$ w okolicach punktów ${\displaystyle a}$ i ${\displaystyle b}$ nie da się sparametryzować, tzn. dla punktów ${\displaystyle a}$ i ${\displaystyle b}$ nie da się znaleźć zbiorów otwartych ${\displaystyle V,W\subset \mathbb {R} }$ i funkcji ${\displaystyle g\colon W\to \mathbb {R} }$ z definicji rozmaitości różniczkowej, które by ją spełniały. Jednakże przedział ${\displaystyle [a,b]}$ jest rozmaitością różniczkową z brzegiem równym ${\displaystyle \partial M=\{a,b\}.}$

• M. Spivak: Analiza na rozmaitościach. Brak numerów stron w książce
• J. Musielak, L. Skrzypczak: Analiza matematyczna. Tom III. Część 2.. Brak numerów stron w książce
• W. Wojtyński: Grupy i algebry Liego. Brak numerów stron w książce