Tożsamość Bineta-Cauchy’ego

Tożsamość Bineta-Cauchy’ego – tożsamość algebraiczna, dająca następującą równość^[1]:

${\displaystyle {\bigg (}\sum _{i=1}^{n}a_{i}c_{i}{\bigg )}{\bigg (}\sum _{j=1}^{n}b_{j}d_{j}{\bigg )}={\bigg (}\sum _{i=1}^{n}a_{i}d_{i}{\bigg )}{\bigg (}\sum _{j=1}^{n}b_{j}c_{j}{\bigg )}+\sum _{1\leqslant i<j\leqslant n}(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})(c_{i}d_{j}-c_{j}d_{i}).}$

Równanie to jest spełnione dla liczb rzeczywistych i zespolonych (lub bardziej ogólnie dla elementów pierścienia przemiennego). Nazwa tożsamości pochodzi od nazwisk francuskich matematyków Augustina-Louisa Cauchy’ego i Jacques’a Philippe’a Bineta. Jeśli ${\displaystyle a_{i}=c_{i}}$ i ${\displaystyle b_{j}=d_{j},}$ to otrzymujemy tożsamość Lagrange’a.

Rozpisujemy ostatnie wyrażenie,

${\displaystyle {\begin{aligned}&\sum _{1\leqslant i<j\leqslant n}(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})(c_{i}d_{j}-c_{j}d_{i})\\=&\sum _{1\leqslant i<j\leqslant n}(a_{i}c_{i}b_{j}d_{j}+a_{j}c_{j}b_{i}d_{i})+\sum _{i=1}^{n}a_{i}c_{i}b_{i}d_{i}\\-&\sum _{1\leqslant i<j\leqslant n}(a_{i}d_{i}b_{j}c_{j}+a_{j}d_{j}b_{i}c_{i})-\sum _{i=1}^{n}a_{i}d_{i}b_{i}c_{i}\end{aligned}}}$

i korzystając z przemienności mnożenia, zauważamy, że drugie i czwarte wyrażenia są takie same. Otrzymujemy więc:

${\displaystyle =\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{i}c_{i}b_{j}d_{j}-\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{i}d_{i}b_{j}c_{j},}$

co kończy dowód po wymnożeniu wyrazów o indeksie ${\displaystyle i.}$

Ogólna postać, znana również jako wzór Cauchy’ego-Bineta, brzmi następująco: niech ${\displaystyle A}$ będzie macierzą o wymiarach ${\displaystyle m\times n,}$ a ${\displaystyle B}$ macierzą o wymiarach ${\displaystyle n\times m.}$ Jeśli ${\displaystyle S}$ jest podzbiorem ${\displaystyle m}$-elementowym zbioru ${\displaystyle \{1,2,\dots n\},}$ to ${\displaystyle A_{S}}$ będzie macierzą o wymiarach ${\displaystyle m\times m,}$ której kolumny są kolumnami macierzy ${\displaystyle A}$ o indeksach ze zbioru ${\displaystyle S,}$ a ${\displaystyle B_{S}}$ macierzą o wymiarach ${\displaystyle m\times m,}$ której wiersze są wierszami macierzy ${\displaystyle B}$ o indeksach ze zbioru ${\displaystyle S.}$ Wtedy wyznacznik iloczynu macierzy ${\displaystyle A}$ i ${\displaystyle B}$ możemy zapisać jako:

${\displaystyle \det(AB)=\sum _{\scriptstyle S\subset \{1,\dots ,n\} \atop \scriptstyle |S|=m}\det(A_{S})\det(B_{S}),}$

przy czym suma przebiega po wszystkich ${\displaystyle m}$-elementowych podzbiorach zbioru ${\displaystyle \{1,2,\dots n\}.}$

Jeśli

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}a_{1}&\dots &a_{n}\\b_{1}&\dots &b_{n}\end{pmatrix}},\quad B={\begin{pmatrix}c_{1}&d_{1}\\\vdots &\vdots \\c_{n}&d_{n}\end{pmatrix}},}$

to uzyskujemy tożsamość Bineta-Cauchy’ego.

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Binet-Cauchy Identity, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2024-02-02].