Transformacja Z

${\displaystyle Z[af_{1}(kT)+bf_{2}(kT)]=aF_{1}(z)+bF_{2}(z).}$

${\displaystyle Z[f(kT+mT)\cdot H(kT)]=z^{m}\left[F(z)-\sum _{n=0}^{m-1}f(nT)z^{-n}\right],}$

gdzie ${\displaystyle m}$ – dowolna dodatnia liczba całkowita; ${\displaystyle H(kT)}$ – funkcja skokowa.

${\displaystyle Z\left[g(kT)\right]=Z\left[\ \sum _{n=-\infty }^{k}\ f(nT)\right]={\frac {z}{z-1}}F(z).}$

${\displaystyle Z[f((k+1)T)-f(kT)]=(z-1)F(z)-zf(0).}$

${\displaystyle Z[f_{1}(n)*f_{2}(n)]=Z[f_{1}(0)\cdot f_{2}(n)+\ldots +f_{1}(k)\cdot f_{2}(n-k)+\ldots +f_{1}(n)\cdot f_{2}(0)]=F_{1}(z)\cdot F_{2}(z).}$

${\displaystyle \lim _{k\to 0^{+}}f(kT)=\lim _{z\to \infty }F(z).}$

Jeśli istnieje granica, ${\displaystyle \lim _{k\to \infty }f(kT),}$ to ma ona wartość:

${\displaystyle f_{\infty }=\lim _{z\to 1}{\frac {z-1}{z}}F(z).}$

Wyprowadź wzór na transformatę delty Kroneckera, ${\displaystyle \delta (n).}$

Rozwiązanie

Dla przypomnienia, delta Kroneckera zdefiniowana jest następująco:

${\displaystyle \delta (n)={\begin{cases}1,&n=0\\0,&n\neq 0\end{cases}}.}$

Korzystając z definicji otrzymujemy:

${\displaystyle Z[\delta (n)]=\ldots +0\cdot z^{2}+0\cdot z^{1}+1\cdot z^{0}+0\cdot z^{-1}+0\cdot z^{-2}+\dots ,}$

stąd:

${\displaystyle Z[\delta (n)]=1.}$

Wyprowadź wzór na transformatę ciągu ${\displaystyle x(n)}$ zdefiniowanego następująco:

${\displaystyle x(n)={\begin{cases}{\frac {1}{2^{n}}},&{\text{dla }}n\geqslant 0\\0,&{\text{dla }}n<0\end{cases}}.}$

Rozwiązanie

Zauważmy, że ciąg ${\displaystyle x(n)}$ można zapisać za pomocą następującego zwartego wzoru:

${\displaystyle x(n)=u(n)\left({\frac {1}{2}}\right)^{n}.}$

Zatem:

${\displaystyle Z[x(n)]=\ldots +0\cdot z^{2}+0\cdot z^{1}+1\cdot z^{0}+{\frac {1}{2}}\cdot z^{-1}+{\frac {1}{4}}\cdot z^{-2}+{\frac {1}{8}}\cdot z^{-3}+\ldots }$

${\displaystyle Z[x(n)]=\sum \limits _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{2}}z^{-1}\right)^{n}.}$

Po prawej stronie rozpoznajemy szereg geometryczny z ilorazem ${\displaystyle q={\tfrac {1}{2}}z^{-1}.}$ Szereg jest zbieżny gdy ${\displaystyle |q|<1}$ co oznacza, że:

${\displaystyle |z|>{\frac {1}{2}}.}$

Powyższa nierówność, nazywana jest obszarem zbieżności lub obszarem istnienia transformaty. Na płaszczyźnie zespolonej ${\displaystyle z,}$ nierówność ${\displaystyle |z|>{\tfrac {1}{2}}}$ jest obszarem na zewnątrz koła o promieniu ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}.}$ Gdy ${\displaystyle |z|>{\tfrac {1}{2}},}$ transformata istnieje (tj. rozważany wcześniej szereg jest zbieżny) i jest równa:

${\displaystyle Z[x(n)]={\frac {1}{1-q}}={\frac {1}{1-{\frac {1}{2}}z^{-1}}}={\frac {z}{z-{\frac {1}{2}}}}.}$

Wyprowadź wzór na transformatę ciągu ${\displaystyle x(n)=u(n)a^{n}.}$

Rozwiązanie

Mając na uwadze poprzedni przykład możemy napisać:

${\displaystyle Z[x(n)]=\sum \limits _{n=0}^{\infty }a^{n}z^{-n}=\sum \limits _{n=0}^{\infty }\left(az^{-1}\right)^{n}.}$

Ciąg powyższy ma skończoną sumę gdy:

${\displaystyle \left|az^{-1}\right|<1\implies |z|>|a|.}$

Powyższa nierówność jest obszarem zbieżności lub istnienia transformaty. Na płaszczyźnie zespolonej ${\displaystyle z,}$ nierówność ${\displaystyle |z|>|a|}$ jest obszarem na zewnątrz koła o promieniu ${\displaystyle |a|.}$ Gdy ${\displaystyle |z|>|a|,}$ transformata istnieje i jest równa:

${\displaystyle Z[x(n)]={\frac {1}{1-az^{-1}}}={\frac {z}{z-a}}.}$

Wyprowadzić wzór na transformatę skoku jednostkowego ${\displaystyle u(n).}$

Rozwiązanie

Korzystając z wyniku wyprowadzonego w poprzednim przykładzie, zauważamy, że:

${\displaystyle u(n)=a^{n}u(n),}$ gdzie ${\displaystyle a=1,}$

stąd:

${\displaystyle Z[u(n)]={\frac {z}{z-1}}.}$

Obszar zbieżności jest opisany nierównością ${\displaystyle |z|>1.}$