Twierdzenie Lévy’ego-Craméra

Niech ${\displaystyle (F_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ będzie ciągiem dystrybuant, a ${\displaystyle (\varphi _{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ będzie ciągiem odpowiadających im funkcji charakterystycznych. Ciąg ${\displaystyle (\varphi _{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ jest punktowo zbieżny do ciągłej w zerze funkcji ${\displaystyle \varphi }$ wtedy i tylko wtedy, gdy ciąg ${\displaystyle (F_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ jest słabo zbieżny do pewnej dystrybuanty ${\displaystyle F.}$ Dodatkowo, ${\displaystyle \varphi }$ jest wówczas funkcją charakterystyczną dystrybuanty ${\displaystyle F.}$

Na mocy powyższego twierdzenia można sformułować wniosek, że ciąg dystrybuant ${\displaystyle (F_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ jest słabo zbieżny do dystrybuanty ${\displaystyle F}$ wtedy i tylko wtedy, gdy

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }~\int \limits _{\mathbb {R} }~g(x)dF_{n}(x)=\int \limits _{\mathbb {R} }~g(x)dF(x)}$

dla każdej ograniczonej funkcji ciągłej ${\displaystyle g.}$

• Marek Fisz: Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1969, s. 203.
• Tadeusz Gerstenkorn, Tadeusz Śródka: Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1973, s. 368.