Wielomiany trygonometryczne

Wielomiany trygonometryczne – klasa funkcji rzeczywisto-rzeczywistych bądź rzeczywisto-zespolonych, mająca szczególne znaczenie w analizie numerycznej oraz analizie fourierowskiej.

Rzeczywistym wielomianem trygonometrycznym stopnia ${\displaystyle n}$ nazywamy każdą funkcję postaci:

${\displaystyle t_{n}(x)=\sum _{j=0}^{n}(\alpha _{j}\cos jx+\beta _{j}\sin jx),}$ gdzie ${\displaystyle n\in \mathbb {N} \cup \{0\},\alpha _{j},\beta _{j}\in \mathbb {R} ,j\in \{0,\dots ,n\}.}$

Analogicznie, zespolonym wielomianem trygonometrycznym stopnia ${\displaystyle n}$ nazywamy każdą funkcję postaci:

${\displaystyle T_{n}(x)=\sum _{j=0}^{n}(\alpha _{j}\cos jx+\mathrm {i} \beta _{j}\sin jx),}$ gdzie ${\displaystyle n\in \mathbb {N} \cup \{0\},\alpha _{j},\beta _{j}\in \mathbb {R} ,j\in \{0,\dots ,n\}.}$

Dla zespolonego wielomianu trygonometrycznego, jeśli ${\displaystyle \bigwedge _{j\in \{0,\dots ,n\}}}$${\displaystyle {\big [}\alpha _{j}=\beta _{j}{\big ]},}$ to na mocy wzoru Eulera:

${\displaystyle T_{n}(x)=\sum _{j=0}^{n}\alpha _{j}e^{\mathrm {i} jx}}$

oraz

${\displaystyle T_{2n}(x)=e^{\mathrm {i} nx}t_{n}(x).}$

W przypadku, gdy powyższa implikacja nie zachodzi, wielomian można przedstawić w postaci:

${\displaystyle T_{n}(x)=\sum _{j=-n}^{n}\gamma _{j}e^{\mathrm {i} jx}}$

O wielomianach trygonometrycznych mówi twierdzenie:
Każda funkcja ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} }$ ciągła i okresowa, o okresie ${\displaystyle 2\pi ,}$ jest jednostajną granicą pewnego ciągu wielomianów trygonometrycznych.

• twierdzenie Stone’a-Weierstrassa
• wielomiany Bernsteina
• wielomiany Tonellego