Wzór prostokątów

Wzór prostokątów – metoda pozwalająca przy użyciu pojęcia całki Riemanna obliczyć sumę pól obszarów pod wykresem krzywej w wybranym przedziale całkowania ${\displaystyle <x_{a},x_{b}>.}$ Przy pomocy sumy pól prostokątów można tę sumę przybliżyć.

Zgodnie z tą metodą należy wykonać kolejno:

• Przedział całkowania ${\displaystyle <x_{a},x_{b}>}$ dzielimy punktami ${\displaystyle x_{i}}$ na ${\displaystyle n}$ równych części. Im większe jest ${\displaystyle n}$ tym przybliżenie staje się dokładniejsze.

dla ${\displaystyle i=1,2\dots ,n}$ mamy następujący wzór:

${\displaystyle x_{i}=x_{a}+{\frac {i}{n}}(x_{b}-x_{a}).}$

• Obliczamy odległość między kolejnymi punktami podziału. Odległość ta będzie jednocześnie długością podstawy prostokąta.

${\displaystyle dx={\frac {x_{b}-x_{a}}{n}}}$

• Obliczamy wartości funkcji w każdym punkcie podziału:

${\displaystyle f_{i}=f(x_{i})}$ dla ${\displaystyle i=1,2\dots ,n.}$

• Obliczamy sumę iloczynów wyznaczonych funkcji przez odległość ${\displaystyle dx}$

${\displaystyle S=f_{1}dx+f_{2}dx+\ldots +f_{n}dx}$

Wyciągamy wspólny czynnik przed nawias:

${\displaystyle S=dx(f_{1}+f_{2}+\ldots f_{n})}$

Otrzymana suma jest wartością przybliżoną całki oznaczonej w przedziale całkowania ${\displaystyle <x_{a},x_{b}>.}$ Zatem otrzymujemy następujący wzór:

${\displaystyle {\int \limits _{a}^{b}\,f(x)dx}\ \ {\approx }\ \ {\frac {x_{b}-x_{a}}{n}}\cdot {\sum \limits _{i=1}^{n}}{f(x_{a}+i{\frac {x_{b}-x_{a}}{n}})}.}$

Dla funkcji różniczkowalnej ${\displaystyle f}$ błąd aproksymacji w przedziale ${\displaystyle (a,a+\Delta )}$ wynosi:

${\displaystyle E_{i}\leqslant {\frac {\Delta ^{2}}{2}}\,f'(\xi )}$

dla pewnego ${\displaystyle \xi \in (a,a+\Delta ),}$ ${\displaystyle n=1,2,3,\dots ,n.}$

Zsumowanie tych błędów dla ${\displaystyle n}$ przedziałów daje

${\displaystyle E\leqslant {\frac {n\Delta ^{2}}{2}}f'(\xi )}$

Ponieważ ${\displaystyle n\cdot \Delta =b-a,}$ więc

${\displaystyle E\leqslant {\frac {(b-a)\Delta }{2}}f'(\xi )}$

dla pewnego ${\displaystyle \xi \in (a,b).}$

• metoda Simpsona
• metody Newtona-Cotesa
• wzór trapezów

• I.N. Bronsztejn, K.A. Siemiendajew, G. Musioł, H. Muhlig: Nowoczesne kompendium Matematyki. Warszawa: PWN, 2004, s. 981. ISBN 83-01-14148-4.