Metody Newtona-Cotesa

Metody Newtona-Cotesa – zbiór metod numerycznych całkowania, zwanego również kwadraturą. Nazwa pochodzi od Isaaca Newtona i Rogera Cotesa.

Przyjmujemy, że wartości funkcji ${\displaystyle f(x)}$ są znane w równo oddalonych punktach (węzłach) ${\displaystyle x_{i},}$ dla ${\displaystyle i=0,\dots ,n.}$ Dla węzłów nierówno oddalonych od siebie maja zastosowanie inne wzory np. kwadratura gaussowska.

Jeżeli ${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<x_{2},\ldots <x_{n-1}<x_{n}=b}$ są równoodległymi węzłami interpolacji funkcji ${\displaystyle f(x)}$ (tj. ${\displaystyle x_{i}}$ są elementami dziedziny ${\displaystyle f,}$ dla których znana jest wartość ${\displaystyle f(x_{i})=y_{i}}$), to całkę:

${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)dx}$

można aproksymować całką:

${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}L_{n}(x)dx}$

gdzie ${\displaystyle L_{n}(x)dx}$ jest wielomianem interpolacyjnym Lagrange’a stopnia co najwyżej ${\displaystyle n,}$ przybliżającym funkcję ${\displaystyle f(x)}$ w węzłach interpolacji, tj.:

${\displaystyle L_{n}(x_{0})=y(x_{0}),L_{n}(x_{1})=y(x_{1}),\dots ,L_{n}(x_{n})=y(x_{n})}$

Niech ${\displaystyle h_{n}={\frac {b-a}{n}}}$ oznacza długość kroku dzielącą dwa węzły interpolacji.

Wprowadzając zmienną ${\displaystyle t,}$ taką że ${\displaystyle x=a+th}$ można zapisać:

${\displaystyle \lambda _{i}(x)=\lambda _{i}(a+th)=\prod _{j=0\land j\neq i}^{n}{\frac {t-j}{i-j}}=g(t).}$

Wtedy:

${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}L_{n}(x)dx=\int \limits _{a}^{b}\sum _{i=0}^{n}f(x_{i})\cdot \lambda _{i}(x)dx=\sum _{i=0}^{n}f(x_{i})\cdot \int \limits _{a}^{b}\lambda _{i}(x)dx}$

${\displaystyle x=a+t\cdot h,}$

${\displaystyle f(x_{i})=f(a+i\cdot h)}$

${\displaystyle x_{i}=a+i\cdot h}$

dla ${\displaystyle a=x_{0}\quad t=0}$

dla ${\displaystyle x_{1}\quad t=1}$

${\displaystyle \ldots }$

dla ${\displaystyle b=x_{n}\quad t=n}$

${\displaystyle dx=(x)'=1}$

${\displaystyle dt=(a+t\cdot h)dt=(a+t\cdot h)'=h=dt}$

Zmieniając zmienną oraz granice całkowania, otrzymuje się:

${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}L_{i}(x)dx=h\cdot \int \limits _{0}^{n}g(t)dt.}$

Ostatecznie, wzór Newtona-Cotesa dla ${\displaystyle n+1}$ równo odległych węzłów przyjmuje postać:

${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)dx=\int \limits _{a}^{b}L_{n}(x)dx=\sum _{i=0}^{n}f(x_{i})\cdot \int \limits _{a}^{b}\lambda _{i}(x=a+t\cdot h)dx=\sum _{i=0}^{n}f(x_{i})\cdot h\cdot \int \limits _{0}^{n}\prod _{j=0\land j\neq i}^{n}{\frac {t-j}{i-j}}dt.}$

Przyjmując za ${\displaystyle A_{i}=h\cdot \int \limits _{0}^{n}\prod _{j=0\land j\neq i}^{n}{\frac {t-j}{i-j}}dt}$ (nazywane współczynnikami kwadratury Newtona-Cotesa), otrzymuje się:

${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\approx \sum _{i=0}^{n}f(x_{i})\cdot A_{i}.}$

• ${\displaystyle A_{i}=A_{n-i}}$

Dowód:

${\displaystyle A_{i}=h\cdot \int \limits _{0}^{n}\prod _{j=0\land j\neq i}^{n}{\frac {t-j}{i-j}}dt}$

Niech ${\displaystyle v=n-t.}$

Wtedy:

${\displaystyle dt=-dv}$

${\displaystyle A_{i}=-h\cdot \int \limits _{n}^{0}\prod _{j=0\land j\neq i}^{n}{\frac {n-v-j}{i-j}}dv=}$

Odwrócenie granic całkowania:

${\displaystyle =h\cdot \int \limits _{0}^{n}\prod _{j=0\land j\neq i}^{n}{\frac {n-j-v}{(n-j)-(n-i)}}dv=}$

Niech ${\displaystyle (n-j)=j'.}$

${\displaystyle =h\cdot \int \limits _{0}^{n}\prod _{j'=0\land j'\neq (n-i)}^{n}{\frac {j'-v}{j'-(n-i)}}dv=}$

Po wyciągnięciu (–1) przed licznik i mianownik:

${\displaystyle =h\cdot \int \limits _{0}^{n}\prod _{v'=0\land v'\neq (n-i)}^{n}{\frac {v-v'}{(n-i)-v'}}dv=A_{n-i}}$

Definiuje się dwa typy wzorów Newtona-Cotesa:

• otwarte, które nie wykorzystują wartości funkcji w skrajnych punktach, oraz
• zamknięte, wykorzystujące wszystkie wartości funkcji.

Zamknięty wzór Newtona-Cotesa rzędu ${\displaystyle n{:}}$

${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \sum _{i=0}^{n}w_{i}\,f(x_{i}),}$

gdzie ${\displaystyle x_{i}=hi+x_{0},}$ z ${\displaystyle h}$ (nazywanym rozmiarem kroku) równym ${\displaystyle (x_{n}-x_{0})/n}$ oraz ${\displaystyle w_{i}}$ są wagami. Wagi można wyprowadzić z wielomianów bazowych Lagrange’a. To oznacza, że zależą tylko od ${\displaystyle x_{i},}$ a nie od funkcji ${\displaystyle f.}$ ${\displaystyle L(x)}$ wielomianem interpolacji w postaci Lagrange’a dla punktów ${\displaystyle (x_{0},f(x_{0})),\dots (x_{n},f(x_{n}))}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx\\\approx {}&\int \limits _{a}^{b}L(x)\,dx\\={}&\int \limits _{a}^{b}\sum _{i=0}^{n}f(x_{i})\,l_{i}(x)\,dx\\={}&\sum _{i=0}^{n}\int \limits _{x_{i-1}}^{x_{i}}f(x_{i})\,l_{i}(x)\,dx\\={}&\sum _{i=0}^{n}f(x_{i})\underbrace {\int \limits _{x_{i-1}}^{x_{i}}l_{i}(x)\,dx} _{w_{i}}.\end{aligned}}}$

Otwarty wzór Newtona-Cotesa rzędu ${\displaystyle n{:}}$

${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \sum _{i=1}^{n-1}w_{i}\,f(x_{i})}$

wagi znajdujemy w sposób analogiczny do powyższego.

• Możemy skonstruować wzór Newtona-Cotesa dowolnego rzędu.
• Niektóre wzory niskich rzędów mają swoje tradycyjne nazwy.
• W poniższej tabeli znajdują się wzory Newtona-Cotesa typu zamkniętego.
• Notacja ${\displaystyle f_{i}}$ oznacza ${\displaystyle f(x_{i}).}$

Rząd	Tradycyjna nazwa	Wzór	Błąd
1	wzór trapezów	${\displaystyle {\frac {h}{2}}(f_{0}+f_{1})}$	${\displaystyle -{\frac {h^{3}}{12}}\,f^{(2)}(\xi )}$
2	wzór Simpsona	${\displaystyle {\frac {h}{3}}(f_{0}+4f_{1}+f_{2})}$	${\displaystyle -{\frac {h^{5}}{90}}\,f^{(4)}(\xi )}$
3	reguła 3/8	${\displaystyle {\frac {3h}{8}}(f_{0}+3f_{1}+3f_{2}+f_{3})}$	${\displaystyle -{\frac {3\,h^{5}}{80}}\,f^{(4)}(\xi )}$
4	wzór Boole’a czasem błędnie[1] nazywany wzorem Bode’a	${\displaystyle {\frac {2\,h}{45}}(7f_{0}+32f_{1}+12f_{2}+32f_{3}+7f_{4})}$	${\displaystyle -{\frac {8\,h^{7}}{945}}\,f^{(6)}(\xi )}$

Wykładnik o kroku ${\displaystyle h}$ w wyrazie błędu pokazuje szybkość zmniejszania się błędu przybliżenia. Pochodna ${\displaystyle f}$ w wyrazie błędu pokazuje który wielomian może być scałkowany dokładnie (tzn. z błędem równym 0). Można zauważyć, że stopień pochodnej ${\displaystyle f}$ w oszacowaniu błędu wzrasta o 2 dla co drugiego wzoru. Liczba ${\displaystyle \xi }$ leży pomiędzy ${\displaystyle a}$ i ${\displaystyle b.}$

W poniższej tabeli znajdują się wzory Newtona-Cotesa typu otwartego.

Rząd	Tradycyjna nazwa	Wzór	Błąd
0	wzór prostokątów	${\displaystyle 2hf_{1}}$	${\displaystyle {\frac {h^{3}}{24}}\,f^{(2)}(\xi )}$
1		${\displaystyle {\frac {3\,h}{2}}(f_{1}+f_{2})}$	${\displaystyle {\frac {h^{3}}{4}}\,f^{(2)}(\xi )}$
2		${\displaystyle {\frac {4\,h}{3}}(2f_{1}-f_{2}+2f_{3})}$	${\displaystyle {\frac {28\,h^{5}}{90}}\,f^{(4)}(\xi )}$
3		${\displaystyle {\frac {5\,h}{24}}(11f_{1}+f_{2}+f_{3}+11f_{4})}$	${\displaystyle {\frac {95\,h^{5}}{144}}\,f^{(4)}(\xi )}$

Warto zwrócić uwagę, że aby wzór dawał dobre przybliżenie, krok ${\displaystyle h}$ musi być mały, co oznacza, że przedział całkowania ${\displaystyle [a,b]}$ również musi być mały, co zazwyczaj nie jest spełnione. Z tego powodu dzielimy przedział na mniejsze podprzedziały i stosujemy metodę Newtona-Cotesa na każdym z tych podprzedziałów, a następnie dodając wyniki. Jest to metoda złożona.

• analiza numeryczna
• metoda numeryczna

• J. i M. Jankowscy, Przegląd metod i algorytmów numerycznych. Warszawa, 1981. (See Section 4.5)
• M. Abramowitz, I.A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972. (See Section 25.4.)
• George E. Forsythe, Michael A. Malcolm, and Cleve B. Moler. Computer Methods for Mathematical Computations. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1977. (See Section 5.1.)
• William H. Press, Brian P. Flannery, Saul A. Teukolsky, William T. Vetterling. Numerical Recipes in C. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1988. (See Section 4.1.)
• Josef Stoer and Roland Bulirsch. Introduction to Numerical Analysis. New York: Springer-Verlag, 1980. (See Section 3.1.)

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Newton-Cotes Formulas, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12]  (ang.).
• Newton-Cotes quadrature formula (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-10-05].